WWW.NEW.PDFM.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Собрание документов
 

«У РА Л ЬС К И Й Ф Е Д Е Р А Л Ь Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т И М ЕНИ П ЕРВ О ГО П Р Е ЗИ Д Е Н Т А РО С С И И Б. Н. ЕЛ ЬЦ И Н А С. Н. Васильев, В. Т. Шевалдин ГАРМОНИЧЕСКИЙ ...»

М И Н И С Т Е РС Т В О О БРА ЗО В А Н И Я И НАУКИ РО С С И Й С К О Й Ф ЕД ЕРА Ц И И

У РА Л ЬС К И Й Ф Е Д Е Р А Л Ь Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т

И М ЕНИ П ЕРВ О ГО П Р Е ЗИ Д Е Н Т А РО С С И И Б. Н. ЕЛ ЬЦ И Н А

С. Н. Васильев,

В. Т. Шевалдин

ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ

Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программе бакалавриата по направлениям подготовки 010100 «Математика», 010200 «Математика и компьютерные науки», 090301 «Компьютерная безопасность», 230700 «Прикладная информатика»

Екатеринбург Издательство Уральского университета УДК 517.518.45(075.8) В191

Рецензенты:

отдел аппроксимации и приложений Института математики и механики им. H. Н. Красовского УрО РАН (заведующий отделом доктор физико-математических наук А.Г. Бабенко);

Р. Р. Акопян, кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой прикладной математики (Озерский технологический институт, филиал НИЯУ МИФИ) Васильев, С. Н .

В191 Гармонический анализ : [учеб. пособие] / С. Н. Ва­ сильев, В. Т. Шевалдин; М-во образования и науки Рос .

Федерации, Урал, федер. ун-т. - Екатеринбург : Изд-во Урал, ун-та, 2014. — 79 с .

ISBN 978-5-7996-1178-1 Учебное пособие создано на материале лекций, прочитан­ ных авторами по основам преобразования Фурье в многомер­ ных евклидовых пространствах .



Для студентов, знакомых с основами математического анализа, теории меры и интеграла Лебега .

УДК 517.518.45(075.8) ©Уральский федеральный университет, 2014 ISBN 978-5-7996-1178-1 ©Васильев C. H., Шевалдин В. Т., 2014 Предисловие

Введение

1. Некоторые сведения из теории функций действи­ тельного переменного

2. Введение непрерывного преобразования Фурье на основе рядов Ф урье

3. Преобразование Фурье в пространстве Li(JBLN).. 13

4. Свойства преобразования Ф у р ь е

5. Свертка двух функций

6. Дифференцирование преобразования Фурье... 21

7. Преобразование Фурье от производной (одномер­ ный случ а

–  –  –

Данное пособие отражает содержание курса “Гармониче­ ский анализ”, который неоднократно был прочитан авторами в Институте математики и компьютерных наук УрФУ (ранее — математико-механический факультет УрГУ) и представляет собой краткий конспект односеместрового курса наших лек­ ций. Материал рассчитан на студентов старших курсов, обуча­ ющихся по направления бакалавриата “Математика”, “Матема­ тика и компьютерные науки” и “Компьютерная безопасность” .

Предполагается, что слушатели курса хорошо владеют мето­ дами математического анализа функций нескольких перемен­ ных и знакомы с основами интеграла Лебега, функционального анализа (в частности, с теорией линейных операторов в нор­ мированных пространствах), комплексного анализа и теории приближения функций .

Значительная часть пособия представляет собой изложение основных формул и теорем гармонического анализа на мно­ гомерных евклидовых пространствах. Здесь мы руководство­ вались стремлением показать, как в теории преобразования Фурье методы вещественного и комплексного анализа сравни­ тельно легко обобщаются с одномерного случая на многомер­ ный. Доказательства основных результатов проводятся по схе­ ме первой главы монографии И .





Стейна и Г. Вейса “Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах” [1]. Да­ лее мы отступаем от изложения основ гармонического анализа по этой книге американских математиков, переходя к функци­ ям одной переменной, чтобы сформулировать наиболее значи­ мые, на наш взгляд, применения непрерывного и дискретного преобразований Фурье и подготовить студентов к пониманию следующего за гармоническим анализом курса лекций “Теория всплесков” .

Гармонический анализ (или анализ Фурье) —раздел мате­ матики, в котором изучаются свойства функций с помощью их представления в виде рядов или интегралов Фурье. Со­ временный гармонический анализ — хорошо разработанный предмет, который можно рассматривать и как междисципли­ нарную область научных исследований, и как их эффектив­ ный аппарат. Методы анализа Фурье активно используются как в теоретических исследованиях, так и во многих приклад­ ных и инженерных задачах. В частности, преобразование Фу­ рье существенно применяется для обработки различных сиг­ налов в теории информации. На методах гармонического ана­ лиза основаны, например, такие популярные форматы сжа­ тия мультимедийных данных, как JPEG, MPEG и MP3. Зна­ менитая теорема отсчетов Уиттекера —Найквиста —Котельни­ кова—Шеннона (см. § 18) фактически является основой совре­ менного цифрового мира, предоставляя базу для перевода ана­ логовых данных в дискретные и обратно .

В последние годы интерес к гармоническому анализу силь­ но возрос ввиду появления нового, бурно развивающегося (осо­ бенно за рубежом) направления математических исследований, которое сейчас в России принято называть теорией всплес­ ков. По существу, появился новый, технически весьма удоб­ ный в приложениях метод представления и анализа функ­ ций одной и нескольких переменных. Эта теория имеет истоки в классических областях математики: в математическом ана­ лизе (дифференциальное и интегральное исчисление), теории функций вещественного переменного, теории ортогональных рядов, теории функций комплексного переменного, функцио­ нальном анализе, но прежде всего, конечно, в анализе интегра­ лов Фурье и других интегральных представлений. Основные подходы и методы гармонического анализа и теории всплес­ ков базируются на результатах классиков математической нау­ ки Ж. Фурье, А. Лебега, H. Н. Лузина, С. Банаха, Д. Гильберта, А. Зигмунда, Дж. Литлвуда, Р. Пэли, К. Шеннона, Н. Винера и многих других .

1. Некоторые сведения из теории функций действительного переменного Векторные величины х = (а?і,...,х ^ ), t = ( ti,..., ідг) бу­ дем обозначать полужирным шрифтом. Скалярное произведе­ ние будем обозначать (х, t) = Хд-Li х к^к, длину (модуль) век­ тора — |х| = у/х\ +... + х 2.ы Приведем несколько фактов из теории функций действи­ тельного переменного, которыми будем пользоваться в даль­ нейшем. Более подробные сведения и доказательства изложен­ ных фактов можно найти в [2-4] .

Измеримость произведения измеримых множеств .

Пусть X С R*, У С R1 (к,1 € N), множества X, Y изме­ римы по Лебегу и их меры Цк{Х) и i(Y) конечны. Тогда Я = Х х У = { ( х ; у ) | х € Х, у € У } измеримо в пространстве Е.к+1, причем Цк+і(Н) = H k ( X ) m ( Y ) .

Измеримость подграфика функции. Пусть X С Rn, X измеримо и / : X — R = R U оо. Если функция / изме­ »• рима и неотрицательна на X и Jx fd x оо, то множество Я = { (x ;j/) I X € X, у 6 [0,/(х ) ] } измеримо в Rn+1, причем Мп+і(Я) = f x f dxКомплекснозначные функции. Наряду с функциями / : R^ — R (N € N) (принимающими вещественные зна­ )• чения) можно рассматривать комплекснозначные функции / : R* С,

–  –  –

где U, V : RN -* R, |/ | = (Я2 + V2)1/2 .

Определение 1. Комплекснозначная функция f измери­ ма на множестве Е С если ее вещественная и мнимая части U и измеримы на Е и

–  –  –

Теорема Фату. Пусть на измеримом множестве G С RN задана такая сходящаяся почти всюду на G последователь­ ность суммируемых функций { fn}neN что последовательность интегралов по G от их модулей ограничена в совокупности, то есть существует такое положительное число М, что

–  –  –

Тогда предельная функция / = lim / п суммируема на G и п-оо Іс I/I dx ^ М .

Отметим, что приведенная в предыдущем примере последо­ вательность функций удовлетворяет условиям теоремы Фату .

Несмотря на то что предельный переход под знаком интегра­ ла недопустим, предельная функция суммируема и интеграл от предельной функции не превосходит предела интегралов от функций последовательности (хоть и не равен ему) .

–  –  –

Известно, что если функция / непрерывна, а функция / ' ку­ сочно-непрерывна на периоде, то имеет место поточечная схо­ димость (іSnf)( t) — f ( t ) для всех t 6 [— 7г]. Однако Snf — 7г, всегда 2тг-периодическая функция, даже если / — функция с конечным носителем. Многие физические процессы (например, остывание нагретого тела) не являются периодическими. Зна­ чит, описывать и моделировать такие процессы периодически­ ми функциями не имеет смысла. Таким образом, для неперио­ дических функций разложение в ряд Фурье хоть и допустимо, но не всегда является естественным .

Попробуем расширить конструкцию сумм Фурье так, чтобы она подходила для функций, заданных на бесконечном проме­ жутке. Возьмем / G Li(R) и рассмотрим суммы Фурье для функции / на отрезке [— М]: М, («"/) м = Е к = —п где Cj^ — 2^7 /(1)е~гк&сИ, причем число М будем увели­ чивать до бесконечности (далее выкладки в этом параграфе будем делать без строгого математического обоснования, одна­ ко из последующего изложения будет ясно, что при некоторых дополнительных ограничениях на функцию / приводимые рас­ суждения верны) .

Введем функцию

–  –  –

Это классическая интегральная сумма Дарбу (при п 4 оо область интегрирования будет стремиться к бесконечности), и при М 4 оо диаметр разбиения будет стремиться к ну­ лю. Таким образом, с одной стороны, (S„ f) (t) -4 f(t) при t e [— Л/], а с другой стороны, (S„ f) (t) -4 f R h(w)e2ntwtdw, M, откуда получаем равенство f f(t) = h(w)e2nitwdw. (2) JR Определение 2. Функция h, определенная формулой (1), называется (непрерывным) преобразованием Фурье функции / L(R) и обозначается = f = h .

В приложениях часто функцию / называют сигналом, а ее преобразование Фурье / называют спектром сигнала / .

Определение 3. Формулу (2) называют обратным преоб­ разованием Фурье .

Далее будет показано, что функция h не всегда суммируема по Лебегу, однако в некотором смысле формулу (2) применять можно .

3. Преобразование Фурье в пространстве L\ (RN) Функцию от нескольких действительных переменных мож­ но раскладывать в ряд Фурье по каждой переменной по оче­ реди. Попробуем для суммируемой функции двух переменных применить преобразование Фурье сначала по одной, а потом по другой переменной. Пусть f { t \,t 2) € Li(R2), тогда ((/) )* ь«*) = J е~2™ « Ч і 2 = Q f // f ( t u t2)e-2^ mtl+Wit^ d h d t2 .

Jr Jr Заметим, что повторный интеграл удовлетворяет условию об­ ратной теоремы Фубини, так как интеграл от модуля подын­ тегральной функции равен интегралу от |/|, а эта функция по предположению суммируема на R2. Значит, можно менять порядок интегрирования и интегрировать по всему простран­ ству R2. Выражение w\t\ -\-w2t2 в показателе экспоненты явля­ ется скалярным произведением векторов w и t. Те же рассуж­ дения верны и для большего количества переменных. Таким образом, можно определить преобразование Фурье для функ­ ций от N переменных: для / € L\{RN)

–  –  –

= 1, следует, что |/(t)e -27r*(w,t)| = Из того, что |/(t)| € Li (Rn ). Значит, преобразование Фурье суммируемой функции / определено при любом фиксированном w .

4. Свойства преобразования Фурье Здесь и далее будем обозначать L = Li(R^), ||/ ||l = II/IIl^ r*)Свойство 1. Равномерная непрерывность преобразования Фурье .

Теорема 1.

Для любой функции / € L верны утвержде­ ния:

1) / —ограниченная функция;

2) II/IIc(rn) ^ II/IU;

f равномерно непрерывна на RN .

3) функция Доказательство. Утверждения 1) и 2) следуют из нера­ венства

–  –  –

Следовательно, если / ^ 0 почти всюду на R^, то /(0) = Jrn f(t)d t = f RN |/(t)|A = ||/||l, то есть норма оператора S достигается на любой знакопостоянной функции и равна еди­ нице .

Теорема 2 (Римана—Лебега, о преобразовании Фурье сум­ * мируемой функции). Для любой функции / € L имеет место сходимость / ( w) - 0 при w — оо .

Д оказательство. В силу того, что функция / суммируе­ ма, имеем

–  –  –

Теорема 3 (о свертке суммируемых функций). Пусть }, д € L. Тогда для почти всех х € R N существует свертка h(x) = (f*g)(x), функция h(x) является измеримой и сумми­ руемой на Rn и справедливо неравенство ||/і||і, Ш ь Ы ь .

–  –  –

Рп{)І = / Pn(-2 m t)e~ 2vi^ f ( t ) d t = (Pn(-2 m t)f(t))A .

Jrn Следовательно, преобразование Фурье сопоставляет оператору дифференцирования оператор умножения на полином. Однако дифференцировать интеграл по параметру можно не всегда, значит, вывод этой формулы требуется строго обосновать .

Теорема 5 (о дифференцировании преобразования Фу­ рье). Пусть f L i (Rn ) и tk f Li(R^). Тогда функция f непрерывно дифференцируема по на всем пространстве RN и справедлива формула

–  –  –

Значит, при всех h существует общая суммируемая мажоранта подынтегральных выражений (функция 27r|^||/(t)|), так как по условию теоремы функция t k f ( t) суммируема. Отсюда

–  –  –

где к = ki +... + Icn 4: 2п .

Замечание. Чем быстрее убывает функция / по перемен­ ной tjfc, тем большее число раз дифференцируемо преобразова­ ние Фурье по переменной Wk. Например, преобразование Фурье от одномерной функции f(t) = будет по крайней мере два­ жды дифференцируемо, а преобразование Фурье от функции /W = i+t7 недифференцируемо в начале координат (см. при­ мер в § 16). Если же функция убывает на бесконечности быст­ рее любой степени (например, / ( t) = или / ( t) = ), то ее преобразование Фурье будет бесконечно дифференцируе­ мо. В частности, отсюда следует, что преобразование Фурье бу­ дет бесконечно дифференцируемо для всех функций, имеющих носителем ограниченное множество, то есть таких, у которых / ( t) = 0 при |tj ^ С (см. пример в §8) .

7. Преобразование Фурье от производной (одномерный случай) Теорема 6 (о преобразовании Фурье от производной) .

Пусть N = 1, функция f абсолютно непрерывна, f G L(R) и / ' G Z/(R). Тогда

–  –  –

Это означает, что преобразование Фурье от / быстро стремится к нулю при w - 1 оо (со скоростью |гг|- ”). Таким образом, чем больше непрерывных суммируемых производных имеет функ­ ция /, тем быстрее стремится к нулю ее преобразование Фурье .

Замечание 2. Выражения (6) и (7) можно получить, формально дифференцируя по параметру преобразование Фу­ рье (3) и его обратное преобразование (2) .

–  –  –

разования Фурье. Функция Гаусса (так же, как и ее преобразо­ вание Фурье) убывает быстрее любой степени |t| и бесконечное число раз непрерывно дифференцируема .

9. Методы суммирования рядов Фурье В §8 приведен пример разрывной функции, у которой пре­ образование Фурье несуммируемо по Лебегу. Аналогичная си­ туация возникает и для рядов Фурье. Например, если взять функцию f(t) = t для t € (— 7г], периодизировать ее с пери­ 7г, одом 2т и разложить в комплексный ряд Фурье, то получим г Несложно заметить, что ряд из коэффициентов Фурье функ­ ции / сходится не абсолютно, поэтому в некоторых точках t частичные суммы ряда Фурье (5П ) (t) = $І=_П(— / 1)* мо­ гут сходиться к / довольно медленно. Более того, суммы Snf не могут сходиться к / равномерно, так как они непрерывны на всей вещественной оси, а предельная функция (периодизация функции / на всю вещественную ось) разрывна .

Можно построить непрерывную функцию, ряд Фурье ко­ торой расходится во всех рациональных точках. Чтобы улуч­ шить сходимость численных методов аппроксимации суммами Фурье, можно находить приближенные значения / более устой­ чивыми методами, чем простое суммирование первых членов ряда Фурье .

Линейные методы суммирования рядов Фурье .

Пусть задана система чисел Л = {а^}, к е Z, п € N.

Опреде­ лим линейный метод суммирования ряда Фурье:

–  –  –

Отображение Un : / - Unf является линейным оператором .

Если все числа равны единице, то получим обычные суммы Фурье (метод Фурье) .

Рассмотрим оператор Un, отображающий / в Unf, как ли­ нейный оператор в пространстве непрерывных функций (то есть Un : С - С). Имеем

–  –  –

Доказательство. Пусть т* — такой тригонометрический полином степени п, что ||/ —т*\\с = inf ||/ —тп||с = E n ( f ) т„етл (полином т* называется полиномом наллучшего приближения функции /). Из теории приближения функций (теорема Че­ бышева) известно, что полином наилучшего приближения т* существует и единственен. Имеем

–  –  –

Необходимо отметить, что в левой части последнего неравен­ ства для оценки уклонения используется тригонометрический полином п степени 2п, в то время как справа стоит наилучшее приближение En( f ) функции / полиномами степени тг .

10. Методы вычисления интегралов от несуммируемых функций Формула (2) обращения преобразования Фурье не может быть использована, например, для функции / ( t) = X[-h,h] из примера 1 в §8, так как ее преобразование Фурье является несуммируемой по Лебегу функцией. Более того, преобразо­ вание Фурье любой разрывной функции не может быть сум­ мируемой функцией. Действительно, формула (2) обратного преобразования с точностью до замены аргумента совпадает с формулой прямого преобразования (1); значит, обратное преоб­ разование Фурье должно обладать такими же свойствами, как и прямое. В частности, если в формуле (2) функция h сумми­ руема, то функция / должна быть равномерно непрерывной .

Таким образом, для обращения преобразования Фурье необ­ ходимо расширить понятие интеграла так, чтобы можно бы­ ло вычислять интеграл в (2) и для несуммируемых по Лебегу функций .

Рассмотрим функцию Ф : RN — С со следующими свой­ ствами:

1) Ф суммируема на RN;

2) Ф ограничена на RN\

3) Ф непрерывна в точке 0 = (0, 0,..., 0);

4) Ф(0) = 1 .

Определение 5. Функция Ф, обладающая свойствами (1)—(4), называется ядром Ф-метода суммирования .

Лемма 1. Если / G L\(RN) и Ф — ядро Ф-метода сум­ мирования, то выражение f RN Ф(ей)/(1)сИ имеет предел при е—0и lim [ Ф(еІ)/(І)И = [ f(t)d t .

е^О J rn J rn Доказательство. При любом е G R функция Fe(t) = измерима как произведение измеримых функций, и поскольку |Ф(і)| М для всех t G RN, то \Fe(t)\ M |/(t)| G Lx(Rn ). Следовательно, при всех € функции Fe(t) измеримы, суммируемы и ограничены суммируемой мажорантой M |/(t)| .

Кроме того, при е — 0 из свойств ядра метода суммирования (3) и (4) получаем Fe(t) — Ф(0)/(t) = / ( t). Таким образом, • выполнены условия теоремы Лебега (см. §1). Значит, верны равенства lim [ Ф(е1)/(Ь)(И= [ lin ^ (e t)/(t)d t = / /(t)d t, _)0 J r n J r" JRN что и требовалось доказать .

Обозначим через ф множество функций / (вообще говоря, не обязательно суммируемых), для которых выполнены следу­ ющие условия:

1) / измерима на RN\

2) существует такое о 0, что для всех е (0 е о) функции Ф(et)/(t) суммируемы;

3) существует конечный предел величин j RN Ф(еЬ)/(і)сИ при — 0 .

У Семейство функционалов { l(f) = Jrn $ ( t)/(t)d t} e при фиксированной функции Ф называют Ф-методом суммирова­ ния функции / и говорят, что интеграл JrN /(t)d t (возможно, расходящийся) вычисляется Ф-методом.

При этом записывают:

(Ф) / f(t)d t = lim [ Ф(еІ)/(Ь)ІЬ .

J Ri* e-+0 J r n Несложно убедиться, что множество Сф является линейным многообразием и что множество Сф непусто, так как согласно лемме 1 выполнено вложение L С Сф. В дальнейшем изложе­ нии ядро Ф будет играть роль, сходную с ролью коэффициентов Л = { А ^ } в линейных методах суммирования рядов Фурье .

11. Примеры методов суммирования Главное значение интеграла в смысле Коши, ис­ пользуемое в математическом анализе ( lim f^ Rf(t)dt), являR —ю о ется методом суммирования с функцией Ф() = Х[-і,і] (здесь R ~ 1/е). Этим методом, например, суммируемы все нечет­ ные функции. В частности, (Ф) f R sin tdt = 0, хотя в обычном смысле интеграл f R sin tdt не существует. Также можно сумми­ ровать этим методом линейную комбинацию нечетной функ­ ции и любой функции, суммируемой в обычном смысле. Одна­ ко данный метод суммирования неинвариантен относительно сдвига аргумента. Например, легко проверить, что функция cost = sin(t + 7г/2) не суммируема этим методом .

Метод Абеля. Пусть Ф(Ь) = е~^ — ядро Абеля. Неслож­ но проверить, что методом Абеля суммируются все нечетные функции, а также, например, функция f(t) = cos t. Действи­ тельно, г 2s /* + о о / e~Wcos tdt = 2 / e_et cos tdt = r - 0 при e - 0 .

Уо 1+ Отсюда следует, что методом Абеля суммируемы любые три­ гонометрические полиномы, не содержащие константы .

М етод Гаусса — Вейерштрасса. Пусть Ф(Ь) = е~а М — ядро Гаусса—Вейерштрасса. Тогда преобразование Фурье яд­ ра тоже является функцией Гаусса —Вейерштрасса, что делает этот метод особенно удобным для обращения преобразования Фурье .

12. Обращение преобразования Фурье Докажем еще одно важное свойство преобразования Фурье, известное как формула умножения .

Теорема 8 (формула умножения). Для любых функций /, д L i (Rn ) верно равенство

–  –  –

|/(еу + 1) —/( t) |d t и за­ Введем обозначение F(eу) = метим, что F(eу) 2||/|і. Поэтому существует интеграл /цдг |^(у)|^(еу)йу. Значит, по обратной теореме Фубини в фор­ муле (10) можно поменять порядок интегрирования, при этом мы получим

–  –  –

У семейства функций {|^(y)|-F(ey)}e имеется суммируемая мажоранта 2 ||/||l \р(у)\. Поэтому по теореме Лебега (см. §1) можно менять местами интеграл и переход к пределу при — 0. Тот факт, что при е -* 0 величина F(eу) стремится »

к нулю, вытекает из более общего утверждения, которое дока­ зано в следующей теореме .

Теорема 10. Для любого числа р [1, +оо) и любой функ­ ции f Lp(Rn ) норма разности ||Ди/||р = ||/(t + u) - /(t)||p стремится к нулю при и — 0 .

Доказательство. В силу определения пространства Лебе­ га Lp(Rn ) для произвольного е 0 найдется достаточно боль­ шое число А 0 такое, что Jjt|y| |/( t) |pdt р- Без ограниче­ ния общности далее считаем, что |и| А. Тогда

–  –  –

Из теоремы Лузина (см., например, [4]) следует, что для любой функции / е Lp(E), заданной на множестве конечной меры Е, для любого е 0 существует непрерывная функция д G LP(E ) такая, что ||/ —д\\ір(Е) е- Возьмем Е = {t : |t| ^ ЗЛ} и выберем для / на множестве Е такую непрерывную функцию д. На множестве G = { t : |t| ^ 2А} верны неравенства

–  –  –

В силу непрерывности д на компактном множестве Е эта функ­ ция по теореме Кантора является равномерно непрерывной .

Следовательно, для любого і 0 можно выбрать 8 0 такое, что если |и| 8 и |и| А у то |j(t + и) —g(t)| в\ для всех t eG. Тогда

–  –  –

Доказательство. Пусть для некоторой функции / ее пре­ образование Фурье / суммируемо. Значит, по лемме 1 из § 10 h ( f^ ) / rn /(w )e2?ri(t’w)dw при - 0. По предыдущему следствию существует подпоследовательность {n}^Li, для ко­ торой величины (/, t) почти всюду сходятся к /. Следова­ тельно, правая и левая части (11) равны почти всюду .

Следствие 5. Если / € L i(RN), / € Li(RN) и / непрерывна на R N, то <

–  –  –

Следовательно, 0 ^ r Nz(r) А(т)/К -» 0, откуда получаем утверждение леммы 2 .

Теорема 1 1. Пусть ядро Ф обладает свойствами (1)— (6) из теоремы 9 и, кроме того, (р(t) = ^(|t|) (радиальная функция), где z(r) — неотрицательная невозрастающая на [О,+оо) функция. Тогда для любой / 6 Li (R.n ) и для любой точки непрерывности t Е RN функции f имеет место сходи­ мость

–  –  –

Так как функция cp суммируема на R ^, последний интеграл стремится к нулю при е — 0.

Оставшийся интеграл можно оценить сверху следующим образом:

–  –  –

Следствие 8. Если суммируемая функция f непрерывна в точке 0 = (0,0,..., 0) и ее преобразование Фурье неотрица­ тельно на всем RN, то f суммируема и \\/\\ь = J^n fdw = /(О) .

Д оказательство. Возьмем ядро Гаусса—Вейерштрасса Ф(х) = е~ІхІ. В силу непрерывности функции / в точке О по теореме 11 выполнено соотношение І = Ф(ег)/(г)(1г —»

/(О) при е — 0. Значит, при малых е 0 интегралы Іе ограни­ чены в совокупности. Таким образом, для функций Ф(sw)f(w) выполнены условия теоремы Фату (см. §1). Следовательно, предельная функция / ( w) = lin^(ew )/(w ) суммируема, и из —0 леммы 1 и теоремы 11 имеем \\/\\ь = f^ N fdw = /(О) .

Замечание. Из данного следствия, в частности, вытекает, что условие (6), накладываемое на ядро метода суммирования в теоремах 9 и 11, следует из условий (1)— Более того, из (5) .

условия (5) и следствий теоремы 9 вытекает, что само ядро Ф эквивалентно некоторой равномерно непрерывной и равномер­ но ограниченной функции. Таким образом, условия (2) и (3) в некотором смысле зависят от условий (1) и (5) .

14. Преобразование Фурье функций из пространства Ьг(МЛ) Г Для любого множества Е с с конечной мерой Лебега имеет место вложение классов функций Ь^ІЕ) с Ь\(Е), так как в силу неравенства Гельдера И ll = / І/І • 1 й = ( /, 1) ІІ/ІЫІ1ІІ2 = ІІЛЬТЩ /I Je Однако все пространство RN имеет бесконечную меру, и легко показать, что Ьг(RN) L2(RN) и L2(RN) L X(RN). В ка­ честве примера для первого утверждения при N = 1 можно рассмотреть функцию f\(t) = |t|_2/3e~M, которая достаточно медленно растет в окрестности нуля и является суммируемой на R. Квадрат этой функции не суммируем ни в какой окрест­ ности нуля. Для доказательства второго утверждения доста­ точно взять функцию f 2(t) = 1/ ( 1+||)^, которая относительно медленно убывает при t — оо и потому несуммируема на R^ .

При этом /2 6 поскольку интеграл по r n от квадрата этой функции конечен .

Так как функции из пространства L2(RN) в общем слу­ чае несуммируемы, то есть не принадлежат L\(RN), инте­ грал в формуле (3) не определен ни при каких w. Значит, формулу преобразования Фурье (3) нельзя использовать для функций из класса L2(RN). Однако для функций из множе­ ства Li(R^) П L2(RN) можно определить преобразование Фу­ рье по стандартной формуле (3). Кроме того, из теории функ­ ций действительного переменного известно, что для любого р € [1, +оо) множество непрерывных функций с ограниченным носителем всюду плотно в Lp. В частности, отсюда следует, что множество L\(Rn ) DL2(Rn ) плотно в L2(RN). Таким образом, преобразование Фурье можно определить для всюду плотно­ го в L2(Rn ) множества. Следующая теорема доказывает, что на этом множестве преобразование Фурье является линейным непрерывным оператором .

^ Теорема 12. Если f € L2(RN) n Li (Rn ), mo J € L2(RN) и ІІ/ІЬ = Ц/Ha .

Доказательство. Рассмотрим функцию д(t) = / ( — t) .

Очевидно, что функция д так же, как и /, лежит в пересечении L2(Rn ) П Li(Rn ). Определим функцию Л(х) = ( / * g)(x) = [ f(t)g{x - t)dt = j / ( t ) / ( t - x)dt .

Jr n Jrn Из неравенства Коши —Буняковского следует, что при любом фиксированном х выполнено неравенство |/і(х)| ^ ІІ/ІЫЫІ2 = ІІ/ІІ2- Следовательно, функция h определена всюду. По теоре­ ме 3 о свертке (см. §5) функция h суммируема. Кроме того, h равномерно непрерывна, так как для любого х € R

–  –  –

/ /(t)/(0-(-t))A= / l/prft = ІІЛІІ .

Теорема 12 доказана .

Из доказанной теоремы следует, что в пространстве L2(RN) оператор преобразования Фурье, определенный на множестве L2(RN)r\L\(RN), сохраняет норму элемента и, значит, является изометричным .

По теореме Хана —Банаха (см. [2]) непрерывный оператор, заданный на подмножестве L2(RN), можно продолжить на все пространство с сохранением нормы. Так как множество К = L2(RN) П L\(Rn ) п л о т н о в пространстве L2(RN), такое продолжение единственно (в этом случае говорят, что оператор продолжается по непрерывности). То есть для произвольной функции / G L2(RN) можно определить У/ как предел У/„ при п — оо для любой последовательности / п, сходящейся к / по норме пространства Ь2(К^).

Например, для / € L2(RN) можно взять последовательность сходящихся к / функций из К:

f (t) _ / /(*) ПРИ |t| n,, N) / n W _ \ 0 при |t| n (n G ^ Все функции f n лежат в классе К и ||/ —f n\\2 -»• 0 при п -» оо .

Следовательно, преобразование Фурье функции / можно опре­ делить как предел функций то есть / ( w) = lim [ f(t)e~ 2lti^ d t f e L2(RN) .

n^°° J\t\Hn Важно отметить, что в этой формуле под пределом имеется в виду не числовой предел, а предел последовательности функ­ ций пространства L2(RN). При фиксированном w этот предел может не существовать, Для преобразования Фурье функций из L2(RN) верны мно­ гие свойства, которые были у преобразования Фурье функций из Lx(Rn ) .

Лемма 3 (формула умножения для L2(RN)). Д ля любых f, g € L2(Rn ) верно равенство

–  –  –

Доказательство. Возьмем произвольную функцию / 6 Ьг(Мдг) и любую сходящуюся к / последовательность {/n}n€N С А. По свойствам нормы ||/П|І2 Ц/ІІ2 при п — оо. Так как^оператор преобразования Фурье непрерывен, то ||/пІІ2 — Ц/ІІ2 при п — оо. По теореме^12 для всех /„ € L2(R',v)nLi(Rw) верно равенство ||/„|І2 = ||/п|І2, откуда следует равенство Парсеваля: Ц/Ц2 = Ц/Ц2 для всех / € Ьг(Кдг) .

Докажем, что Я — $L2(RN) является замкнутым подпро­ странством в L2(RN). Пусть д — предельная точка множе­ ства Я, то есть д = lim / п для некоторой последовательноп —ЮС <

–  –  –

Так как нормы у функции и ее преобразования Фурье совпада­ ют, то скалярные произведения функций и их преобразований Фурье тоже будут совпадать. Теорема (14) доказана .

15. Обращение преобразования Фурье в і 2(Rw) Теорема 15. Преобразование Фурье взаимно однозначно отображает Z/2(RW на L2(R^), причем (5 - 1?)(t) = $g(— ) t) .

Д оказательство. В теореме Планшереля было доказа­ но, что оператор преобразования Фурье является унитарным .

Поэтому если /і = /г, то ||/і - / 2||2 = ||/і - / 2ІІ2 = ||/і г ||2 = 0, следовательно, f\ = / 2. По теореме Планшереля преобразование Фурье отображает I/2(R^) на все L2{RN), то есть преобразование Фурье является биекцией пространства L2(RN) на себя. Следовательно, для него существует един­ ственный обратный оператор У-1. Из равенства Парсеваля сле­ дует, что ||5 - 1 = ІЫІ2, значит, оператор ff-1 непрерывен .

7ІІ2 Докажем, что 5 _1 7(t)j= Рассмотрим такую функцию / € L2(Rn ), ч т о g = / € К = Li(Rn ) П L ^R ^), и определим / ( t) = $g(— Тогда для любой функции € L2(R^) t). р

–  –  –

Этот интеграл легко вычислить, если перейти в комплекс­ ную плоскость и рассмотреть область, ограниченную отрезком вещественной оси [— А] и верхней дугой окружности радиу­ А, са А с центром в начале координат. Если А устремить к беско­ нечности, то при t 0 по лемме Жордана интеграл по верхней полуокружности будет стремиться к нулю, интеграл по отрез­ ку — к требуемому интегралу, а интеграл по всему контуру будет равен сумме вычетов подынтегральной функции внутри контура, умноженной на 2ігі. При А 1 единственная особая точка внутри контура — это точка z — і. Отсюда при t О

–  –  –

Математическое ожидание показывает, где находится центр масс функции, а дисперсия показывает, насколько далеко от этого центра “масса” функции распределена в пространстве .

Можно заметить, что при умножении на константу или сдвиге функции вдоль вещественной оси (то есть при замене аргумен­ та t на t —to) дисперсия функции не изменяется. Заметим, что при сдвиге функции вдоль вещественной оси ее преобразование

Фурье домножается на множитель, равный по модулю единице:

U f ( t + t0) ) = e 2*iwt°3f,

поэтому центр масс и дисперсия преобразования Фурье также не изменяются при сдвиге / и домножении на константу. Ана­ логично при сдвиге преобразования Фурье вдоль вещественной оси не изменяется центр масс функции .

Если мы сжимаем функцию вдоль вещественной оси (то есть делаем замену аргумента t на at), то для сохранения сред­ неквадратичной нормы функции надо домножить ее на коэф­ фициент у/а:

–  –  –

ч°гЬ Равенство достигается для всех функций вида f ( t ) = Ce~°‘2(t~)2+nt и только для них (здесь С ф 0, а ф 0,, 7 — произвольные вещественные константы) .

Доказательство. Без ограничения общности будем счи­ тать, что Ц/ІІ2 = 1 (иначе поделим на ||/||), / = 0 (иначе сде­ лаем замену переменной т = t —tf) и t j = 0 (иначе домножим функцию на множитель e2mwt/ } равный по модулю единице) .

Тогда дисперсии функции и ее преобразования Фурье вычис­ ляются по формулам а / = ||/(і)|І2 и Jj = \\wf(w)\\2Рассмотрим функцию р(х) - f R \xtf(t) —f'(t)\ dt. Неслож­ но понять, что это квадратный трехчлен р(х) = ах2 + Ьх + с .

Найдем его коэффициенты а, b и с:

–  –  –

Квадратный трехчлен р(х), как интеграл от модуля, неотрица­ телен, следовательно, его дискриминант неположителен. Зна­ чит, Ь2 —4ас ^ 0, или 1 —1б7г20-2т ^ 0, откуда получаем нера­ венство в утверждении теоремы 17 .

Чтобы неравенство обратилось в равенство, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был равен нулю. Это рав­ носильно тому, что р(хо) = 0 в некоторой точке д?о. Так как р(хо) — интеграл от модуля некоторой функции, получаем, что эта функция тождественно равна нулю, то есть f'(t) = х о Решениями этого дифференциального уравнения яв­ ляются функции вида сехоі /2, откуда (с учетом требования интегрируемости функции, а также центрирования функции и ее преобразования Фурье) получаем требуемое утверждение .

18. Теорема отсчетов Теорема Котельникова (в англоязычной литературе — тео­ рема Найквиста—Шеннона или теорема отсчетов) гласит, что аналоговый сигнал, имеющий конечный спектр, может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим отсчетам. Для краткости изложения в доказательстве опущены вопросы, ка­ сающиеся сходимости рядов и возможности их почленного ин­ тегрирования .

Теорема 17 (теорема отсчетов Уиттекера —Найквиста—Котельникова —Шеннона). Пусть непрерывная функция / € T2(R) такова, что для некоторого а 0 при всех |ж| а выполнено /(ж ) = 0. Тогда

–  –  –

Теорема 17 доказана. П Комментарии. Теорема отсчетов играет ключевую роль при оцифровке аналоговых данных. Фактически в ней утвер­ ждается, что если спектр сигнала ограничен, то весь аналого­ вый сигнал можно точно восстановить по дискретному набору его значений. Согласно формуле (14) для точного восстанов­ ления сигнала надо записывать значения сигнала с частотой вдвое выше, чем максимальная частота, присутствующая в сиг­ нале. Известно, что человек воспринимает звук с частотой ко­ лебаний не выше 48 КГц. Значит, для точного воспроизведения музыки достаточно записывать значения сигнала с частотой 96 тыс. раз в секунду .

К сожалению, если применять формулу (14), когда условия теоремы отсчетов не выполнены (то есть в сигнале присутству­ ют более высокие частоты), сигнал исказится, причем помехи в спектре будут и в области ниже граничной частоты а. Значит, если в исходном звуке присутствовала неслышимая человеком высокочастотная помеха, то после оцифровки и восстановле­ ния по формуле (14) появятся дополнительные шумы. Такие шумы можно услышать, например, когда по телефону стандар­ та GSM передают музыку. Это происходит потому, что звук в стандарте GSM оцифровывается с частотой 8 КГц. Для переда­ чи голоса этого достаточно (максимальная частота колебаний голосовых связок человека — 3 КГц), а в музыке содержатся колебания с более высокими частотами .

В двумерных сигналах (например, в изображениях) так­ же могут быть искажения, связанные с невыполнением усло­ вий теоремы отсчетов. Для дискретизации изображений пра­ вило, которое следует из теоремы отсчетов, обычно формули­ руют так: размеры пикселя (минимального дискретного эле­ мента изображения) должны быть вдвое меньше размеров са­ мых мелких деталей, которые представляют интерес в данном изображении. Для устранения помех, вызванных недостаточ­ ной частотой дискретизации, используются различные методы сглаживания сигналов .

19. Преобразование Фурье обобщенных функций При решении практических задач часто возникает потреб­ ность наряду с обычными функциями использовать такие объ­ екты, как точечная масса, или брать такую производную от разрывной функции, чтобы интеграл от нее совпадал с исход­ ной функцией. Для обычных функций из пространства Ьр это невыполнимо так как интеграл по множеству меры ноль дол­ жен быть нулевым, а интеграл с переменным верхним пределом обязательно должен быть непрерывным. Однако существует возможность математически строго ввести обобщенные функ­ ции, для которых в некотором смысле это возможно .

В курсе функционального анализа доказывается, что ли­ нейный функционал Р, непрерывный на пространстве LP(E) (Е С R, 1 р оо), имеет вид P f = f E f(t)g(t)dty где g(t) Е Lq(E), причем p и q — сопряженные числа, то есть р + I = 1- Пространство всех непрерывных линейных функци­ оналов на некотором пространстве называется пространством, сопряженным к данному .

Известно, что чем шире пространство функций, тем уже класс линейных непрерывных функциона­ лов на этом пространстве, то есть уже сопряженное простран­ ство. Если взять очень узкое пространство, которое вложено в пересечение всех пространств Lp, то сопряженное пространство будет очень широким .

Рассмотрим пространство бесконечно гладких быстро убы­ вающих на бесконечности функций S = {ір : V m € N tkip(m\ t ) € C(R) П Li(R)} .

ife, Будем считать, что последовательность {?п} сходится к у? в 5, если для любого натурального т последовательность рав­ номерно сходится к при п — оо. На этом пространстве непрерывными являются не только функционалы, представи­ мые в виде интеграла с какой-либо функцией, но и многие другие. Например, непрерывным на S функционалом будет (р(хо) — значение функции (р € S в отдельной точке или даже f(xо) — значение производной в отдельной точке. Для про­ p странств С(К) и Lp(R) (1 р оо) производная функции в точке — это разрывный функционал, определенный не на всех функциях, а только на узком подмножестве .

Пусть Рд —некоторый линейный непрерывный функционал на S. Если формально записать равенство

–  –  –

Ра = / = [ &(t)g{t)dt = Рдф V p е S. (16) у Jr Jr Покажем, что это определение корректно. Справа стоит ком­ позиция линейного непрерывного оператора #, переводяще­ го S в 5, и линейного непрерывного на S функционала Рд .

Очевидно, что такая композиция является однозначно опреде­ ленным линейным непрерывным на S функционалом. Значит, выражение слева является линейным непрерывным функцио­ налом на 5 и ему соответствует некоторая обобщенная функ­ ция, которую мы и называем д. Следовательно, для любой обобщенной функции д существует ее преобразование Фурье д) однозначно определенное формулой умножения (16) .

Заметим, что формула умножения верна для функций из L\ и из І 2- Значит, определенное формулой (16) преобразо­ вание Фурье для всех обобщенных функций, совпадающих с обычными функциями (из L\ и Z/2), совпадает с обычным пре­ образованием Фурье .

Найдем для примера преобразование Фурье от 5-функции .

Нам необходимо найти такую “функцию” д = 5, чтобы выпол­ нялось равенство [ p(t)(t)dt = [ p(t)g(t)dt Vp Е S .

(17) Jr Jr В силу определения 5-функции j{ p(t)S(t)dt = (fi(0) = j p(t)e°dt = I ip(t)dt V/? S .

Jr Jr Jr Следовательно, в правую часть (17) нужно поставить g(t) = 1 .

Заметим, что формально проинтегрировав функцию e2ntwi с 5-функцией, мы должны были бы получить единицу для всех w, то есть тот же самый результат. Хотя, строго говоря, функ­ цию e2nlwt нельзя интегрировать вместе с 5-функцией, так как она не лежит в 5 .

Рассмотрим еще один пример. Вычислим преобразование Фурье от cos 27гat — неинтегрируемой на оси функции, не ле­ жащей ни в пространстве Li(R), ни в Z/2(R). Нам необходимо найти такую функцию д = $ cosfnat), чтобы выполнялось ра­ венство

–  –  –

Следовательно, g(t) = ^(5(t-a)+5(+a)). При a = 0 получаем, что преобразование Фурье от функции, тождественно равной единице, равно 5-функции .

Любопытно отметить, что утверждение теоремы 4 о пре­ образовании Фурье свертки верно, если в качестве одного из множителей взять 5-функцию. Фактически 5-функция являет­ ся единицей для операции свертки .

Также во многих случаях для обобщенных функций сохра­ няются свойства, связанные с дифференцированием преобразо­ вания Фурье (теоремы 5 и 6).

Например, если взять разрывную функцию / из примера 1 в § 8 и рассмотреть ее производную в обобщенном смысле, то утверждение теоремы 6 о преобразо­ вании Фурье производной будет выполнено:

7 и = -Щ - ьМ (і ) ) = т * + h ) ~ s(t - h)) = е2nihw _ е- 2ж = 2і gin (2iriwh) = 2mwf{w) .

ііш Аналогично можно убедиться, что (Зг /)(г*;) = 2т 5 гiw, соответ­ ственно w = где производная от 5-функции определяется равенством [ p(t)Sf(t)dt = - [ p'(t)6(t)dt = JR J R

20. Приложения преобразования Фурье Разберем несколько примеров использования преобразова­ ния Фурье для решения математических и прикладных задач .

Чтобы не углубляться в детали, будем считать что в данном параграфе все ограничения, необходимые для осуществления операций, выполнены. Отметим, что во многих случаях можно убрать часть ограничений, перейдя к обобщенным функциям .

Применение преобразования Фурье для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Рас­ смотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянны­ ми коэффициентами где g(t) — известная функция, а функцию /() надо най­ ти. В силу формулы ^7) для к = 0,1,...,п верно равенство 5(f^)(x ) = (2nix)kf ( x ). Значит, применив преобразование Фурье к обеим частям линейного дифференциального уравне­ ния, получим

–  –  –

= — ____ Значит, после обратного преобразования Фурье получим общее решение исходного уравнения:

/(,1 _ ~ -і 9W _[ п Е г= о ч (й п * )* При положительных значениях х интеграл в последнем вы­ ражении равен сумме вычетов подынтегральной функции по верхней полуплоскости, а при отрицательных — сумме выче­ тов по нижней полуплоскости. Отметим, что для нахождения вычетов придется найти корни характеристического многочле­ на рп(т) = Ylk=o акткі а именно эта операция и составляет ос­ новную трудность при решении дифференциального уравнения обычным способом. Кроме того, здесь требуется обоснование того, что прямое и обратное преобразования Фурье от обеих частей уравнения существуют .

Применение преобразования Фурье для решения волнового уравнения. Рассмотрим классическое волновое уравнение d2h _ 2d2h dt2 ~ a dx2’ которое описывает поведение натянутой бесконечной струны h = /і(х, t) в точке х в момент времени t. Пусть известны по­ ложение струны в начальный момент времени /і(х,0) = f(x) и скорость каждой точки струны в этом состоянии ^ ( #, 0) = д(х) (это стандартная задача Коши для уравнений математи­ ческой физики).

Рассмотрим преобразование Фурье волнового уравнения по переменной х:

Без доказательства примем, что линейные операции преобра­ зования Фурье по переменной х и дифференцирования по пе­ ременной t можно поменять местами. Тогда с учетом теоремы 6 получаем равенства

–  –  –

Для фиксированного w это обычное дифференциальное урав­ нение вида ип = — b2u, общим решением которого является функция u(t) = С\ sin bt + С2 cos bt; следовательно, h(w, t) = Ci (w) sm(2anwt) + C2(w) cos(2a7rwt).

(18) Коэффициенты C\(w) и C2(w) можно найти, применив пре­ образование Фурье к начальным условиям /і(х, 0) = f(x) и §(х,0) = 5 (1 ):

–  –  –

Заметим, что двойной интеграл фактически берется по всему пространству R^. Значит, (Д(х,А))Л(«;)= / /( t) e - 2" (t’u,x)dt = /(івх) .

JRN С учетом того, что вектор х единичный и переменная w пробе­ гает всю вещественную ось, величина іих пробегает все про­ странство R^. Следовательно, зная преобразование Радона при всех X и А мы можем вычислить преобразование Фурье, от функции / на всем R^. Чтобы найти функцию /, достаточ­ но взять обратное преобразование Фурье .

21. Формула суммирования П уассона Пусть / е L(R), рассмотрим вопрос: как естественным об­ разом сопоставить ей периодическую функцию? Это можно сделать, например, с помощью формулы периодизации, про­ суммировав все значения функции через период, например, равный единице:

5/(0 = / ( * + *) eR .

fcez Можно поступить по-другому: взять преобразование Фурье, а при обратном преобразовании убрать все, что не соответству­ ет периоду, то есть в выражении J^ f(w )e2niwtdw взять вместо интеграла по всем w только сумму по целым w:

–  –  –

Т f If{t + k)\dt +00 .

kezJo Значит, интегралы от функций f n(t) = l/(^ + k)| no единичному отрезку ограничены в совокупности: Jq f n(t)dt ІІ/Ці. Кроме того, последовательность функций {/„} не убы­ вает по п, так как f n+m(t) ^ /п (0 для любых натуральных т и п и t € R. Таким образом, для последовательности {/„} вы­ полнены условия теоремы Леви, которая утверждает, что если есть неубывающая последовательность функций, интегралы от которых ограничены, то почти всюду существует предел этой последовательности и предельная функция суммируема. Зна­ чит, для почти всех t R существует Sf(t) = Ylkez /(* + ^), причем эта функция суммируема на отрезке [0, 1].

Разложим 5 / в ряд Фурье на отрезке [0,1]:

и подставим определение S f в выражение для с^:

С = / 1 Sf(x)e~2*ikxdx = С У \ f( x + j)e~2*ikxdx = к Jo Jo j e z E / i+ f(x)e~2mk(x- j)dx = J ^ jT f(x)e~2lTikxdx = f(k) .

j€ Z' Таким образом, 5 /() = f(k)e2”tkt = Tf(t), то есть ре­ зультаты обоих способов периодизации совпадают. Отсюда мы получаем следующее утверждение .

Теорема 18 (формула суммирования Пуассона). Пусть / € Ь(Ш ряд YikeZ /(* + ^) сходится при всех 6 R, ряд ), 5Zfcez f(k)e2nikt сходится к непрерывной функции.

Тогда верно следующее равенство:

^ Я г + ц - Е / И е 2"*' .

fcez fc€z 5 частности, npti = О верна формула суммирования Пуас­ сона / ( * ) = /(* ) fcez Jtez

22. Преобразование Фурье дискретных сигналов Преобразование Фурье для бесконечной последо­ вательности. Пусть Д — малый промежуток времени. Опре­ делим tk — к A t для к е Z. Значения — f(tk) функции /, взятые в точках *;, называются выборкой или оцифровкой сигнала /. Тогда в качестве аналога непрерывного преобразова­ ния Фурье f(w) = f R f(t)e~lwidt естественно будет взять инте­ гральную сумму X(w) — ^2kez xke~twtkAt. Для сходимости ря­ да достаточно, например, потребовать абсолютную сходимость ряда Ylkezx ki тогда функция X будет непрерывна. Без огра­ ничения общности можно считать, что At = 1, тогда tk = к .

Таким образом, естественно определить преобразование Фурье последовательности {xk}kez следующим образом:

–  –  –

Из общей теории рядов Фурье следует, что такое “полудискретное” преобразование Фурье, задаваемое формулами (19) и (20), взаимно однозначно отображает пространство суммиру­ емых с квадратом бесконечных последовательностей І2 в про­ странство суммируемых с квадратом 27г-периодических функ­ ций і/2[ - 7Т,7г] .

Интересно, что, несмотря на не совсем корректный переход от интеграла к интегральной сумме, многие свойства преобра­ зования Фурье сохранились.

В частности, выполняется равен­ ство Парсеваля:

WMkezWl = X lX = ^ / fcl2 \x (w)\2dwkZ Преобразование Фурье конечной последовательно­ сти. Если задана конечная последовательность величин {а*}Г0\ то сумма в (19) будет конечной и X (w) будет алгеб­ раическим многочленом степени N —1 от аргумента e~tw. Для восстановления коэффициентов многочлена степени І —1 до­ статочно знать его значения только в N различных точках .

Таким образом, можно восстановить исходную последователь­ ность используя не все значения функции X на пери­ оде (как в формуле (20)), а только выборку Х п = X(wn) для N различных точек wn. Самым простым способом выбрать зна­ чения {tn} ^ 1 является равномерное разбиение периода, то для п = 0,..., N - 1. Тогда для п = 0,..., N —1 есть wn = получим последовательность величин N- 1 *п= (21) к=0 Отметим, что в формулу (21) можно подставлять любые нату­ ральные значения п, причем Х п = Хп+# то есть последова­ тельность {Xn}neN будет периодической с периодом N .

Определение 6. Дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) конечной последовательности называется последовательность величин {Xn}„~Q, определенная форму­ лой (21) .

При больших N разбиение отрезка [— 7г] точками {wn}^To 7г, будет достаточно густым и интеграл в формуле (20) можно приблизить интегральной суммой:

–  –  –

п=О

Подставим в последнюю сумму выражение (21) для Х п:

Если к ~ j 1 то все экспоненты во внутренней сумме равны единице, а вся сумма равна N. При к ф j из формулы суммы геометрической прогрессии находим

–  –  –

Здесь так же, как и в формуле (21), правая часть периодич­ на по fc, поэтому можно считать, что последовательность {х*} тоже является периодичной и Xk+N — До­ определение 7. Оператор, сопоставляющий конечной последовательности {Хп)п=о последовательность {хк}к=о по формуле (22), называется обратным дискретным преобра­ зованием Фурье (ОДПФ) .

–  –  –

Здесь снова использован тот факт, что сумма J2n=o е2т^~ к)тг равна N при j = к и равна 0 при j ф к .

Быстрое преобразование Фурье. Для последователь­ ности длины N вычисление каждой суммы в (21) требует O(N) операций, значит, вычисление ДПФ последовательности требу­ ет 0 ( N 2) операций сложения и умножения. Однако, используя особенности констант линейной комбинации в (21), можно су­ щественно сократить объем вычислений. Рассмотрим случай, когда количество элементов представимо в виде произведения двух множителей: N =pq для некоторых р, q е N.

Тогда можно сгруппировать слагаемые в (21) следующим образом:

9 -1 9- 1 р -і..,.. / р- i,\ I - 2іг»2і ' -2ігі,1~Ч гі + — і— \ 2ж Р = 2 wI е х п = 2 ^ 2 ^ Хк іе і+ Ч рч2 ^ хкя+іе р )• і =0 к=0 І = ОV fc=0 / Несложно понять, что внутренняя сумма является ДПФ под­ последовательности {xkq+jYk=о ДЛ Н Р* Если мы знаем ДПФ И ЬІ всех таких подпоследовательностей, то для вычисления внеш­ ней суммы потребуется 0(q) операций при каждом п, то есть всего 0(qN) операций. ДПФ всех внутренних подпоследова­ тельностей (их ровно q) можно вычислить не более чем за qO(p2) = 0(pN) операций, значит, всего будет проделано не более 0(pN) -I- 0(qN) = 0((р + q)N) операций. Если р ^ 2 и q ^ 2, то р + q ^ pq = N .

Фактически количество операций сокращается за счет мно­ гократного использования значений внутренних ДПФ, которые нужно посчитать всего один раз и сохранить в памяти. Более того, если число р составное, то можно применить этот же при­ ем для вычисления ДПФ внутренних подпоследовательностей и еще уменьшить количество операций. Для N = 2м получим порядок количества операций, равный 0 ((2 + 2 +... 2)N) — м раз 0( 2MN) = 0 ( N log2N). При больших N это значительно меньше, чем N 2 .

Аналогично можно быстро вычислять ОДПФ, так как опре­ деления ДПФ и ОДПФ отличаются только знаком в показателе экспоненты и постоянным множителем. Также существуют ал­ горитмы быстрого вычисления ДПФ для последовательностей произвольной длины. Алгоритмы быстрого дискретного пре­ образования Фурье используются при сжатии изображений и звука в форматы JPEG и MP3 .

Применение Д П Ф д ля вычисления свертки. Важным применением ДПФ является ускоренное вычисление свертки последовательностей .

Определение 8. Сверткой последовательностей {xn}nez и {Уп}п€Ъ называют последовательность {zn}nez, определен­ ную формулой zn ~ Y l хкУп-к, n e Z. (23) feez Если последовательности {xn}n6z и {yn}n€Z периодичны с периодом N, то сумму в (23) нужно брать не по всем целым числам, а по любому целочисленному отрезку длины N, напри­ мер, zn = хкУп-к• В этом случае свертка будет тоже пе­ риодичной последовательностью с тем же периодом N. Чтобы определить свертку конечных последовательностей длины N, доопределим их периодическим образом .

Вычисление свертки последовательностей необходимо во многих задачах обработки информации. В частности, свертка вычисляется в графических и звуковых редакторах при при­ менении различных фильтров .

Легко подсчитать, что для нахождения свертки конеч­ ных (периодических) последовательностей длины N по фор­ муле (23) требуется 0 (N 2) операций. Если последовательно­ сти {Хп}} {У^} и {Zn} являются ДПФ последовательностей {xn}, {j/n} и {zn} соответственно, то из свойств экспонент в (21) следует равенство Zn = Х п • Yn (n Е N), то есть, как и в теореме 4, преобразование Фурье переводит опера­ цию свертки в простое поточечное умножение. Таким обра­ зом, чтобы найти свертку {гп}, достаточно вычислить ДПФ последовательностей {xn}nGN и {уп}пеN (на это будет потра­ чено 20(N log2 N) операций), поточечно их перемножить (еще O(N) операций) и найти обратное дискретное преобразование Фурье (еще 0 ( N log2A ) операций). На практике при N ^ 16 T применять преобразование Фурье обычно выгоднее, чем вы­ числять свертку по определению .

23. Различные варианты определения непрерывного преобразования Фурье Для упрощения записи и последующих вычислений преоб­ разования Фурье вместо сложного выражения 2niwt в пока­ зателе экспоненты часто используют более простое выраже­ ние iwt. В этом случае для сохранения нормы функции в L2 необходимо ввести нормировочный множитель а именно:

–  –  –

Для простоты вычислений предпочтительнее вместо двух ир­ рациональных множителей (вида у т) оставить один, поэтому /Ъ также традиционной является форма записи

–  –  –

В этом случае норма оператора преобразования Фурье не рав­ на единице. Соответственно возникают множители в различ­ ных формулах, связанных с преобразованием Фурье. Напри­ мер, обобщенное равенство Парсеваля во втором случае прини­ мает вид (/,/) = Однако все варианты определений различаются между собой только постоянными множителями и обладают сходными свойствами .

–  –  –

Рассмотрим правую часть этого равенства как выражение от w = z, где z может принимать не только вещественные, но и любые комплексные значения. Так как / 1,2[— т,т\1 то / Е Іа[—т,т]; следовательно, интеграл в правой части существует при всех z С. Более того, из теории функций комплексного переменного следует, что функция

–  –  –

Определение 9, Целая функция F(z) называется функ­ цией экспоненциального типа а R, если для любого е О существует константа Ае 0 такая, что для всех г С выполнено неравенство \F(z)\ Аее ^ е^ .

Справедливо следующее утверждение (без доказательства) .

Теорема 19 (Пэли —Винера). Пусть f L2OR). Носитель f содержится в отрезке [— т] тогда и только тогда, когда т, /(ги) является сужением на вещественную ось некоторой це­ лой функции экспоненциального типа г .

Например, если f(t) = Х[а#ь]? Т0 f ( w) = ~~"af Как ви­ дим, /(z) имеет экспоненциальный тип сг = тах{|а|, |Ь|} .

Замечание. Мы показали, что если носитель функции / компактен, то / —аналитичная на всей комплексной плоскости функция. Значит, если существует хотя бы один интервал, на котором / тождественно равна нулю, то / равна нулю всюду (следовательно, и сама функция / эквивалентна нулю). Таким образом, носители / и / не могут быть компактными одно­ временно, если / не эквивалентна нулю. В частности, отсюда следует, что никакой конечный по времени ненулевой сигнал не может удовлетворять условиям теоремы отсчетов 17 .

25. Оконное преобразование Фурье Нередко при исследовании сигнала самостоятельный инте­ рес представляет его спектр —набор частот, с которыми проис­ ходят колебания сигнала. Преобразование Фурье дает частот­ ную информацию, содержащуюся в сигнале: f(w) показывает, какова (комплексная) амплитуда колебаний с частотой w в ис­ ходной функции /. Но интеграл в преобразовании Фурье берет­ ся по всей временной оси, поэтому по преобразованию Фурье сложно определить, в какой момент времени возникли коле­ бания с той или иной частотой и когда они закончились. Для анализа часто используют только модуль преобразования Фу­ рье. Несложно понять, что по модулю преобразования Фурье от 5-функции принципиально невозможно определить, где она была сосредоточена. Чтобы хоть как-то решить эти проблемы, можно искусственно локализовать функцию в окрестности ис­ следуемой точки, домножив ее на быстро убывающую (окон­ ную) функцию .

Определение 10. Функция W : R -* С называется окон­ ной, если W Е L (R) и tW(t) Е 1/2 (R) .

Заметим, что оконная функция обязательно лежит в I a ( R ), так как (l-f||)W (t) Е I/2W и Е I/2W, следовательно, су­ ществует скалярное произведение этих двух функций, то есть существует интеграл JR W(t)dt .

В качестве стандартных примеров оконной функции мож­ но привести характеристическую функцию отрезка W() — Х[-а,а](*) и функцию Гаусса —Вейерштрасса W(t) = е~а 1 .

Оконное преобразование Фурье функции / определяется как преобразование Фурье от функции /, умноженной на сдвиг оконной функции:

–  –  –

План выпуска 2014 г. Подписано в печать 19.05.2014 .

Формат 60 X 84 1/ l. Бумага офсетная. Гарнитура Times .

Уч.-изд. л. 3,5. Уел. печ. л. 4,65. Тираж 120 экз. Заказ 581 .

Издательство Уральского университета 620000, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51 .

Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре УрФУ 620000, г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4 .

Тел.: +7(343) 350-56-64, 350-90-13 Факс: +7(343) 358-93-06 E-mail: press-urfu@mail.ru

Похожие работы:

«Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики Магистерская программа "Программное обеспечение вычислительных сетей" Магистерск...»

«НАРОДНАЯ УКРАИНСКАЯ АКАДЕМИЯ В. А. Кирвас ИНФОРМАТИКА.МОДУЛЬ: "ТЕКСТОВЫЙ ПРОЦЕССОР MS WORD" Практикум для студентов факультета "Референт–переводчик", обучающихся по направлению подготовки 6.020303 – Филология (кредитно–модульная система) Издательство НУА...»

«3. Малышева М.А. Современные технологии обучения и их роль в образовательном процессе [Текст] / М.А. Малышева // Современнные технологии обучения в вузе (опыт НИУ ВШЭ в Санкт-Петербурге). – СПб., 2011. – С. 6-25.4. Рабочая программа дисциплины "Музыкальная информатика" [Текст] / Екатеринбург : ФГАОУ ВПО РГППУ, 2011. – 2...»

«Инструкция skymaster dx 24 25-03-2016 1 Лестер нескованно богатевшего гелиотропа заканчивает викифицировать. Лимпопо не закабаляется. Утверждавшая это срывающаяся бенгалка. Противоракетные тиканья прислуша...»

«Федеральное агентство связи Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА С...»

«Приложение к свидетельству № 56544 Лист № 1 об утверждении типа средств измерений Всего листов 5 ОПИСАНИЕ ТИПА СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ Комплексы мониторинга артериального давления КАРДИОСЕНС АД Назначение средства из...»

«Всероссийская олимпиада школьников по информатике Всероссийская олимпиада школьников по информатике Архангельск 5–11 апреля 2015 года Всероссийская олимпиада школьников по информатике Задача Автоматические друзья Задача Автоматические друзья Задача Автоматические друзья Всероссийская олимпиада школьник...»

«Всероссийский институт аграрных проблем и информатики имени А.А. Никонова Отчжт о научно – практической деятельности за 2017 год А.В. Петриков Структура доклада • Результаты научных исследований по программе ФАНО России.• Итоги работы по заказам Минсельхоза России, Росстата,...»






 
2018 www.new.pdfm.ru - «Бесплатная электронная библиотека - собрание документов»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.