WWW.NEW.PDFM.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Собрание документов
 

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Б.А. Гуляев, Ш.М. Мерданов, ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Б.А. Гуляев, Ш.М. Мерданов, С.П. Пирогов

ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН

Учебное пособие Допущено УМО вузов РФ по образованию в области транспортных машин и транспортно-технологических комплексов в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности «Наземные транспортно-технологические средства»

(специализация «Подъемно-транспортные, строительные, дорожные средства и оборудование»)»

Тюмень ТюмГНГУ УДК 621.01(075) + 512.625.58 ББК 34.41я73 + 22.311я73 Г 94

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор В. Г. Соколов доктор физико-математических наук, профессор А. Г. Обухов .

Гуляев, Б.А .

Г 94 Динамика и прочность машин : учебное пособие / Б. А. Гуляев, Ш. М. Мерданов, С. П. Пирогов. – Тюмень : ТюмГНГУ, 2015. – 143 с .

В пособии представлены математические методы решения динамических задач и основы теории устойчивости равновесия и колебаний механических систем. Предназначено для обучающихся по направлению 190109.65 «Наземные транспортнотехнологические средства» очной и заочной форм обучения .



Илл. 99 ISBN 978-5-9961-1106-0 УДК 621.01(075) + 512.625.58 ББК 34.41я73 + 22.311я73 ISBN 978-5-9961-1106-0 © Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет», 2015 ВВЕДЕНИЕ Учебное пособие соответствует содержанию рабочей программы дисциплины «Динамика и прочность машин» для обучающихся по специальности «Наземные транспортно-технологические средства», а также может быть использовано в учебном процессе других технических специальностей .

Динамика и прочность машин является основой для конструирования машин и механизмов различного назначения, поэтому освоение этого курса послужит залогом для успешного выполнения задач, поставленных перед инженером .

Для решения этих задач используются различные математические методы, в частности принцип Даламбера, принцип возможных перемещений, общее уравнение. Эффективным методом решения задач динамики являются уравнения Лагранжа второго рода .

Широко распространенным видом движения машин является колебательное движение, поэтому изучение основ этого движения актуально .

Пособие состоит из двух глав: в первой приведены математические методы, во второй - колебания и устойчивость механических систем с одной степенью свободы .

Каждый раздел содержит теоретический материал, примеры решения задач и вопросы для самоконтроля .

Рекомендуемый порядок работы с данным пособием: после изучения теории необходимо рассмотреть примеры, а затем самостоятельно решить предлагаемые задачи. При успешном решении всех задач можно сделать вывод об успешном усвоении материалов данного раздела .

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

1.1. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА 1.1.1. Принцип Даламбера для материальной точки. Найдем сначала выражение принципа для одной материальной точки .

Пусть на материальную точку с массой m действует система a активных сил, равнодействующую которых обозначим F и реакция связи N (если точка является несвободной). Под действием всех этих сил точка будет двигаться по отношению к инерциальной системе отсчета с некоторым ускорением а .

и Введем в рассмотрение величину F ma, имеющую размерность силы. Векторную величину, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют силой инерции точки .

Тогда оказывается, что движение точки обладает следующим свойством: если в любой момент времени к действующим на точку активным силам и реакции связи присоединить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной (рис.1.1), то есть a и F N F 0. (1.1) Рис.1.1. Принцип Даламбера для материальной точки Это положение выражает принцип Даламбера для материальной точки. Нетрудно убедиться, что оно эквивалентно второму закону Ньютона и наоборот .

Проектируя (1.1) на оси координат, получим уравнения

–  –  –

Эти уравнения, по существу динамические, а по виду статические, называются уравнениями кинетостатики. Решение динамических задач путем составления кинетостатических уравнений называется методом кинетостатики. Применения этих уравнений особенно эффективно при определении динамических реакций, то есть составляющих реакций, которые возникают при движении тел .

Пример. Автомобиль массы 1000 кг движется по выпуклому мосту со скоростью 10 м/с. Радиус кривизны в середине моста 50 м. Определить силу давления автомобиля на мост в его середине (рис.1.2) .

–  –  –

направлено к центру кривизны, значит сила инерции в противоположную сторону. Полученная система сил является уравновешенной и, проектируя ее на нормаль, получим

–  –  –

Давление автомобиля на мост численно равно реакции моста и направлено в противоположную сторону .

Из выражения для N следует, что реакция зависит от скорости движения. Очевидно, что максимальная скорость прохождения автомобиля через мост найдется из условия N = 0. Из условий примера

–  –  –

1.1.2. Принцип Даламбера для механической системы .

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек (рис.1.3) .

Рис.1.3. Принцип Даламбера для механической системы

–  –  –

то есть на точку действует уравновешенная система сил .

Повторяя такие рассуждения для каждой из точек, придем к следующему результату, выражающему принцип Даламбера для системы:

если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной, и к ней можно применять все уравнения статики .

Математически принцип Даламбера для системы выражается векторными равенствами вида, которые, очевидно, эквивалентны дифференциальным уравнениям движения системы. Следовательно, из принципа Даламбера можно получить все общие теоремы динамики .

Значение принципа Даламбера состоит в том, что при непосредственном его применении к задачам динамики уравнения движения системы составляются в форме хорошо известных уравнений равновесия; это делает единообразным подход к решению задач и часто упрощает соответствующие расчеты, а именно в этом состоит суть метода кинетостатики. Кроме того, в соединении с принципом возможных перемещений, который будет рассмотрен в следующей главе, принцип Даламбера позволяет получить новый общий метод решения задач динамики .

Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находящихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любого центра О, равны нулю, причем это справедливо для сил, действующих не только на твердое тело, но и на любую изменяемую механическую систему .

Тогда на основании принципа Даламбера должно быть e i и (Fk Fk Fk ) 0, (1.3) [M o ( Fke ) M o ( Fki ) M o ( Fkи ) 0.

(1.4) Проецируя эти выражения на оси координат, получим уравнения кинетостатики для механической системы:

–  –  –

Применение этих, вытекающих из принципа Даламбера, уравнений, упрощает процесс решения задач, так как они не содержат внутренних сил .

Чтобы пользоваться ими при решении задач, надо знать выражения главного вектора и главного момента сил инерции .

В заключение следует подчеркнуть, что при изучении движения по отношению к инерциальной системе отсчета, которое здесь и рассматривается, силы инерции вводятся только тогда, когда для решения задач применяется принцип Даламбера .

1.1.3. Главный вектор и главный момент сил инерции. Из уравнений (1.6) следует, что и R и Fkе, M о M o ( Fkе ) .

–  –  –

то есть главный момент сил инерции механической системы (твердого тела) относительно некоторого центра О или оси z равен взятой со знаком минус производной по времена от кинетического момента системы (тела) относительно того же центра или той же оси .

1.1.4. Приведение сил инерции твердого тела. Систему сил и инерции твердого тела можно заменить одной силой, равной R и приложенной в произвольно выбранном центре О, и парой с моментом, и M о. Рассмотрим несколько частных случаев .

равным

–  –  –

Следовательно, величина момента будет равна произведению осевого момента инерции на угловое ускорение тела, а направлен он будет противоположно угловому ускорению .

3. Плоскопараллельное движение. Если тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно этой плоскости, то очевидно, что система сил инерции тела приведется к лежащим в плоскости симметрии и силе, равной R и приложенной в центре масс тела, и паре сил и моментом m z .

Пример. На однородный диск массой m2 намотана нить, к которой привязан груз массой m1. Определить ускорение груза, реакцию опоры и силу натяжения нити (рис.1.4) .

Решение. Применим принцип Даламбера для системы, состоящей из груза и диска. Прикладываем внешние силы Р 1, Р2, No, к грузу – силу F и m1a .

инерции

–  –  –

Рассмотрим применение принципа Даламбера к исследованию динамического равновесия конического маятника .

Пример. Конический маятник состоит из тонкого однородного прямолинейного стержня АВ длиной L. Стержень шарнирно прикреплен к вертикальному валу, который вращается равномерно с угловой скоростью (рис.1.5). Определить угол отклонения стержня от вертикали .

–  –  –

где rk – расстояние от элемента до оси вращении стержня. Силы инерции направлены противоположно ускорениям и пропорциональны расстояниям rk, то есть образуют систему параллельных сил, распределенных по линейному закону. Центр этих сил находится на расстоянии L от точки О, а величина главного вектора сил инерции R и Mac M 2 rc M 2 L sin .

–  –  –

3 3 Как видно из ответа, разрывное усилие отлично от нуля и сильно зависит от угловой скорости вращения, то есть силы инерции при больших скоростях могут привести к разрыву маховиков, наждачных кругов и других быстровращающихся деталей .

1.1.5. Давление на опоры вращающегося тела. Отдельную группу представляют задачи по определению давления на опоры вращающихся тел, поскольку подобные конструкции широко используются в технике .

Пример. Конструкция, состоит из вертикальной оси, к которой под прямым углом прикреплен невесомый стержень, на конце которого закреплен точечный груз массой m (рис.1.7). Ось вращается равномерно с угловой скоростью. Определить давление оси вращения на опоры А и В .

Рис.1.7. Рисунок к примеру Решение. В соответствии с принципом Даламбера прикладываем к системе активную силу – вес точки P = mg, силу инерции F и ma m 2 L и реакции опор Rв, Ха, Уа ( реакцию опоры А разлагаем на две составляющие) .

Следовательно, на систему будет действовать уравновешенная плоская система сил, для которой можно составить три уравнения равновесия:

–  –  –

Рис.1.8. Примеры симметричных и асимметричных конструкций У конструкции на рис.1.8, в центр масс также находится на оси вращения, однако она несимметрична относительно оси Z, при этом динамические реакции будут наблюдаться .

Для того чтобы характеризовать симметрию или асимметрию тел или всей конструкции в целом, вводятся понятия центробежных моментов инерции .

Центробежными моментами инерции тела называются величины, определяемые равенствами:

–  –  –

где mk– массы отдельных точек, xk, yk и zk – координаты этих точек .

В зависимости от формы тела и расположения осей центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю .

Для тел, имеющих ось симметрии, центробежные моменты инерции, содержащие в индексах эту ось, равны нулю. Такие оси называются главными осями инерции, а осевые моменты инерции относительно этих осей – главными моментами инерции .

В каждой точке тела можно построить три главные оси инерции .

Главные оси инерции, построенные в центре масс, называются главными центральными осями инерции .

Нетрудно убедиться, что для конструкции на рис.1.8, б ось Z является главной, а на рис.1.8, в – нет .

Особый интерес представляет вопрос о том, как должна быть распределена масса тела по его объему, чтобы динамические давления на опоры при вращении тела вокруг неподвижной оси отсутствовали .

Другими словами: какова должна быть геометрия масс тела, чтобы его ось вращения не «била» по подшипникам?

Рассмотрим тело, равномерно вращающееся вокруг оси АВ, закрепленной в подшипниках (рис.1.9) .

Рис.1.9. Динамические реакции вращающихся тел

Свяжем с телом произвольную систему координат, как это показано на рисунке, и рассмотрим произвольную точку mk, расстояние до оси вращения которой равно rk, а координаты ее - xk, yk, zk.Так как тело вращается равномерно, то все точки его будут иметь только нормальное ускорение, а силы инерции – центробежными

–  –  –

Составим кинетостатические уравнения равновесия для пространственной системы сил, действующей на тело, при этом реакции подшипников А и В разложим на две составляющие – Rax, Ray, Rвx, Rвy .

–  –  –

Из этого следует, что для избежания динамических реакций необходимо выполнение двух условий:

1) Хс = Ус = 0, то есть центр масс должен находиться на оси вращения,

2) Jxz = Jyz = 0, то есть ось вращения должна быть главной осью инерции .

Другими словами: при вращении тела динамические давления на опоры будут отсутствовать, если ось вращения будет главной центральной осью инерции, например, при вращении осесимметричного тела вокруг оси симметрии (рис.1.8, б) .

Однако даже если спроектированная деталь будет теоретически симметричной, при изготовлении достичь этих условий невозможно из-за поля допусков размеров, неоднородности материала и других причин .

Кроме того, в процессе эксплуатации детали могут деформироваться, что приводит к отклонению от первоначальной формы .

Поэтому для уменьшения динамических реакций быстровращающиеся тела подвергают уравновешиванию или балансировке .

Различают статическую и динамическую балансировку .

Цель статической балансировки – достижение первого условия, то есть Хс=Ус=0. Данной операции подвергаются детали имеющие небольшие осевые размеры, например, диски колес автомобилей, маховики и т.п. (в этом случае значения Jxz и Jyz незначительны). Процесс выполняется на станках для статической балансировки путем присоединения или удаления к детали точечной массы .

Схема статической балансировки показана на рис 1.10 .

–  –  –

Аналогичный результат можно получить, если удалить данную массу с противоположной стороны детали .

Динамической балансировке подвергаются детали, имеющие большие осевые размеры – коленчатые и распределительные валы и т.п .

Цель ее – сделать ось вращения главной центральной осью инерции .

Процесс выполняется на специальных станках для динамической балансировки, а цель может быть достигнута путем присоединения двух точечных масс .

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. В чем заключается принцип Даламбера для материальной точки?

2. Как находится величина и направление силы инерции?

3. Какой вид имеют кинетостатические уравнения равновесия материальной точки?

4. В чем заключается принцип Даламбера для механической системы?

5. Какой вид имеют кинетостатические уравнения равновесия механической системы?

6. Как находится величина и направление главного вектора сил инерции?

7. Как находится величина и направление главного момента сил инерции относительно оси Z?

8. Зависит ли главный вектор сил инерции от вида движения тела?

9. К чему приводятся силы инерции тела, совершающего поступательное движение?

10. К чему приводятся силы инерции тела, совершающего плоское движение?

11. К чему приводятся силы инерции тела, вращающегося вокруг оси, проходящей через центр масс?

12. Из каких составляющих состоят силы инерции точек вращающегося тела?

13. При каких условиях главный вектор сил инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равен нулю?

14. При каких условиях главный момент сил инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равен нулю?

15. Что называется центробежными моментами инерции?

16. В каком случае центробежные моменты инерции равны нулю?

17. В чем состоит сущность статической балансировки?

1.2. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

1.2.1. Связи. Любое тело, любой механизм, любую совокупность взаимодействующих между собой тел в механике принято называть системой материальных точек или механической системой. Если движения всех точек системы не ограничены никакими условиями, то механическая система считается несвязанной (свободной). Примером такой системы является Солнечная система. Все планеты, рассматриваемые как точки, взаимодействуют между собой по закону всемирного тяготения, но на их движения не наложено никаких ограничений .

В инженерной практике, как правило, приходится иметь дело с системами, на которые наложены связи. Например, твердое тело – связанная система точек, расстояния между которыми не изменяются .

Любой механизм: лебедка, домкрат, редуктор скоростей и др. – все это системы связанных между собою тел .

Связями механической системы называются любые ограничения, накладываемые на координаты и скорости точек этой системы .

Аналитически связи могут быть представлены уравнениями (или неравенствами), которым должны удовлетворять координаты точек системы и производные от координат по времени .

Для исследования движения, в отличие от статики, неважно, какими телами осуществляется связь. Существенно то, какие ограничения на движение системы она налагает .

Геометрическими называются связи, которые накладывают ограничения на координаты точек. Обычно это различного рода закрепления точек системы: подшипники, шарниры, опорные поверхности и т.д. Такие связи можно подразделить на односторонние и двусторонние .

Двусторонними или удерживающими называются связи, препятствующие перемещению в двух взаимно противоположных направлениях. К ним относится, например, тонкий невесомый стержень (рис. 1.11). При этом координаты точки, на которую наложена связь, должны удовлетворять условию x 2 y 2 L2 .

Односторонними (неудерживающими) называются связи, препятствующие перемещению в одном направлении, например, гибкая связь. Если предположить, что на рис.1.11 вместо стержня прикреплена нить, то условием, накладываемым на координаты груза, будет неравенство x 2 y 2 L2 Стационарными называются связи, не зависящие явно от времени. В этом случае время в уравнение связей не входит. Нестационарные - это связи, зависящие от времени. Примером такой связи может быть оболочка одного из приборов спускаемого автоматического аппарата на Венере, которая была изготовлена из сахара. При растворении оболочки датчики прибора постепенно вступали в контакт с атмосферой.

Если, например, нить математического маятника при его колебаниях укорачивается путем втягивания ее в кольцо подвеса со скоростью V, то такая связь также будет нестационарной:

x 2 y 2 ( L0 Vt )2 Связи, которые накладывают ограничения на скорости точек, называются кинематическими или дифференциальными. Они подразделяются на интегрируемые и неинтегрируемые .

К интегрируемым относятся связи из кинематических соотношений, которых можно найти зависимость между координатами. Например, при качении колеса без скольжения по неподвижной поверхности, (рис.1.12) между угловой скоростью колеса и скоростью центра масс существует зависимость: Vc / R .

Так как d / dt, а Vc dS / dt, то d dS / R .

Рис.1.11. Пример геометрической Рис.1.12. Интегрируемая связь связи Интегрируя последнее выражение, получим: S / R .

Неинтегрируемыми называются связи, в уравнениях которых из зависимостей между скоростями нельзя найти зависимости между перемещениями. К таким связей относятся следящие системы, например, система наведения управляемых ракет “земля – воздух “, шар на плоскости и т.д .

Геометрические и интегрируемые кинематические связи называются голономными, а механические системы, на которые наложены только такие связи - голономными системами.

В общем виде, данные связи представляются уравнениями:

f k ( x 1, y1, z1,..., x N, y N, z N, x 1, y1, z1..., x N, y N, z N, t ) 0, (k = 1,2,...,m; m 3N), N - число точек системы .

Определение идеальных связей будет дано позже, после рассмотрения необходимых для этого понятий .

В дальнейшем предполагается, что, каковы бы ни были устройства, осуществляющие связи, их действия на систему выражаются силами, приложенными к системе и определенным образом направленные. Эти силы называются реакциями связей .

1.2.2. Действительные и возможные перемещения. В механических системах при отсутствии связей любые перемещения точек не ограничены, то есть возможны. Иначе обстоит дело в системах, на которые наложены связи. Например, в твердом теле любому перемещению одной точки будут соответствовать определенные перемещения всех остальных точек. Аналогично и в механизмах, представляющих собою системы взаимосвязанных тел .

Действительными называют бесконечно малые перемещения, которые совершают точки системы под действием приложенных сил .

Возможными (виртуальными) перемещениями системы называют воображаемые, бесконечно малые перемещения, допускаемые связями в данный момент времени .

Обозначения:

ri возможные перемещения точек системы;

dri действительные перемещения точек .

Если связи со временем не изменяются (стационарны), то любое действительное перемещение может произойти из числа возможных. В случае односторонних (неудерживающих) связей к числу возможных относят лишь такие перемещения, при которых точки системы не покидают связь .

Например. Связью для бруска является поверхность (рис.1.13, а). Все возможные перемещения направлены по касательным к опорной поверхности в точке касания ее с бруском. Возможным является и поворот тела на угол .

Аналогично и в случае гибких связей (нить, трос и т.п.). К числу возможных относят лишь те перемещения, при которых нить остается постоянно натянутой (рис.1.13, б). Перемещения, которые не относятся к числу возможных, на рис.1.13 перечеркнуты .

Рис.1.13. Возможные перемещения

1.2.3. Число степеней свободы. Из примеров, показанных на рис.1.13 видно, что связи могут допускать большое число возможных перемещений, однако не все из них взаимно независимы .

Числом степеней свободы механических систем называют число взаимно независимых возможных перемещений .

–  –  –

Пусть механическая система состоит из “n” точек, на которые наложено “k” связей. Число степеней свободы определится из следующих соображений .

Каждая свободная точка имеет три независимых перемещения: xi, yi, zi (рис.1.14а). Все “n” точек, будучи не связанными, имели бы 3 n независимых перемещений.

Так как эти 3 n перемещений взаимосвязаны “k” условиями связей, то независимых перемещений остается:

–  –  –

где S – число независимых перемещений, или, по определению, число степеней свободы .

Рассмотрим применение формулы (1.9) для определения числа степеней свободы кривошипно-шатунного механизма (рис.1.14б) .

Рис.1.14б. Кривошипно-шатунный механизм Система состоит из трех взаимосвязанных тел: кривошипа ОА, шатуна АВ и ползуна В (поршень). На механизм наложены связи: неподвижная ось вращения кривошипа и направляющие для ползуна. Положение всех тел механизма определится, если знать положение трех точек: О, А и В. Если бы эти точки были не связанными, то они имели бы 3 3 = 9 степеней свободы .

Однако, перемещения точек ограничены; эти ограничения математизируются уравнениями («уравнения связей»):

Шарнир «О» не покидает начала координат: х0 = 0; у0 = 0; z0 = 0 .

Точка «А» движется только в плоскости рисунка (механизм плоский): zА = 0 .

Ползун «В» движется только вдоль направляющих: уВ = 0; zВ = 0 .

Длины кривошипа и шатуна неизменны:

(хА - х0)2 + (уА - у0)2 + (zА – z0)2 = ОА2;

(хВ - хА)2 + (уВ - уА)2 + (zВ – zА)2 = АВ2 .

Итак, восемь уравнений выражают наложенные на механизм связи. По формуле (1.9) имеем: S = 3 3 – 8 = 1 .

Следовательно, кривошипно-шатунный механизм – это система с одной степенью свободы .

Практически нет необходимости каждый раз определять положение механизма какими-то характерными точками, а затем пересчитывать связи .

Достаточно определить число независимых возможных перемещений, чтобы указать число степеней свободы. Очевидно, что перемещения всех тел кривошипно-шатунного механизма можно однозначно определить одним независимым перемещением – углом поворота кривошипа .

Давая независимые возможные перемещения, легко определить, что твердое тело может иметь следующие числа степеней свободы: при вращении вокруг неподвижной оси – одну, при поступательном движении – три, при плоскопараллельном – три, при сферическом – три; свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы (этот случай показан на рис.1.15) .

Как известно, число статических условий равновесия и кинематических уравнений движения твердого тела всегда равно числу его степеней свободы .

Рис.1.15. Степени свободы свободного твердого тела Ниже будет показано, что аналогичное соответствие имеет место и в динамике механических систем, состоящих из совокупности взаимодействующих тел .

–  –  –

Из определения возможных перемещений следует, что возможная работа – это воображаемая и бесконечно малая.

Вычисляется она точно так же, как и действительная элементарная работа:

–  –  –

Как и на действительных, на возможных перемещениях можно подсчитывать работу как активных, так и пассивных сил, а при необходимости ещё и возможную работу сил инерции .

1.2.5. Идеальные связи. Идеальными называют такие связи, у которых сумма работ сил реакций равна нулю на любом возможном перемещении:

–  –  –

Для равновесия механических систем с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма работ активных сил равнялась нулю на любом возможном перемещении:

n

–  –  –

Докажем необходимость (прямую теорему Лагранжа), так как при практическом применении этого принципа равновесие механической системы, как правило задано, а требуется методом составления уравнения возможных работ найти соотношения действующих сил .

Рассмотрим механическую систему, находящуюся в равновесии (рис.1.16) .

–  –  –

следовательно A 0, что и требовалось доказать .

a i Обратную теорему Лагранжа можно доказать методом от противного. Доказательство этих теорем, построенное на основных законах механики, свидетельствует о том, что принципы механики не только не противоречат законам механики Ньютона, а наоборот, развивают ее, обогащая новыми методами расчета. Так, если принцип Даламбера позволяет решать динамическую задачу путем составления уравнений равновесия, то принцип возможных перемещений допускает решение статических задач динамическим методом – путем составления уравнения возможных работ .

Принцип возможных перемещений сформулирован и показан для механических систем с идеальными связями. Однако, им можно пользоваться и в случае, когда связи не идеальны (например, когда нельзя пренебречь шероховатостью поверхности). В таких случаях в уравнение возможных работ следует включить работу сил реакций не идеальных связей. Кроме того, из формулировки принципа возможных перемещений следует, что его можно применять для исследования равновесия систем с несколькими степенями свободы .

Пример. Состоящая из невесомых стержней конструкция находится в равновесии. Найти соотношение между силами Р и F (рис.1.17) .

Рис.1.17. Рисунок к примеру Решение. Сообщаем системе возможное перемещение, находим возможную работу активных сил и составляем уравнение по принципу возможных перемещений FB - PsinD = 0 .

Находим зависимость между возможными перемещениями. Так как B/ВК = D/DK,то B = D ВK/DK = 2сos .

Отсюда FD2сos - PsinD = 0, или F = Ptg .

Как уже отмечалось, принцип возможных перемещений позволяет решать задачи на равновесие механических систем методами динамики, то есть путем составления уравнения возможных работ, при этом они составляются по степеням свободы механической системы, а не для отдельных тел. Отсюда следуют важнейшие преимущества этого метода по сравнению с методами геометрической статики. Во-первых, условия равновесия сложных механических систем могут быть рассчитаны без разделения этих систем на отдельные тела. Во-вторых, число уравнений равновесия будет минимальным и равно числу степеней свободы .

Пример. Определить зависимость между силами P и Q в клиновом прессе, если сила Р приложена к рукоятке длиной L перпендикулярно осям винта и рукоятки. Шаг винта равен h, угол при вершине клина (рис.1.18) .

Рис.1.18. Рисунок к примеру

Решение. Данная механическая система имеет одну степень свободы: при возможных перемещениях рукоятки по – или против часовой стрелки нагрузка Q получает однозначные перемещения вверх-вниз (перемещения, при которых связи нарушаются, не входят в число возможных). Следовательно, независимо от числа звеньев и тел, равновесие данной механической системы определится одним уравнением .

Дадим рукоятке возможный поворот по направлению силы Р .

Тогда винтовая пара продвинет клин влево на х, а точка приложения силы Q получит перемещение вверх z. Так как сила трения и масса тела К не оговорены, то связи можно считать идеальными .

Составим уравнение возможных работ активных сил:

–  –  –

Отсюда видно, что прессующее усилие тем больше, чем больше сила Р, длина рычага L и чем меньше шаг винта h и угол клина .

1.2.7. Применение принципа возможных перемещений к исследованию простейших механизмов. Простейшими называют механизмы с одной степенью свободы. К ним относятся рычаги, блоки, лебедки, вороты, домкраты, прессы и так далее. Изобразим простейший механизм в общем виде (рис.1.19) .

Рис.1.19. Простейший механизм Этот механизм состоит из корпуса, к котором заключены тела, определенным образом связанные между собой и имеющие возможность двигаться. В любом механизме есть тело, к которому приложена сила полезного сопротивления Q (на рис. 1.19 – тело А) и тело, к которому приложена сила F, преодолевающая полезное сопротивление (тело В). Все остальные тела образуют передаточный механизм, посредством которого осуществляется связь между движением тел А и В .

Предположим, что механизм идеальный, то есть связи идеальны по определению. Применим принцип возможных перемещений, для чего сообщим точке приложения силы F совпадающее с ней перемещение rF .

Тогда точка приложения силы полезного сопротивления Q получит противоположное ей перемещение rQ. Уравнение возможных работ принимает вид F rQ VQ F rF Q rQ 0, откуда Q rF VF VQ и VF – скорости перемещения точек приложения сил Q и F, так как их перемещения происходят за одно и то же время dt .

Последняя пропорция выражает «золотое правило механики»: ни один механизм выигрыша в работе не дает: во сколько раз мы выигрываем в силе, во столько раз проигрываем в пути или в скорости перемещения .

Впервые это правило было сформулировано Галилеем: « что выигрывается в силе, проигрывается в скорости» .

Пример. В механизме домкрата при вращении рукоятки А длиной R начинают вращаться колеса 1-5, которые приводят в движение зубчатую рейку В домкрата (рис.1.20). Какую силу Р надо приложить перпендикулярно рукоятке в конце ее для того, чтобы чашка С домкрата развила давление 4,8 кН. Радиусы зубчатых колес r1 = 3 см, r2 = 12 см, r3 = 4 см, r4 = 16 см, r5 = 3 см, длина рукоятки R = 18 см .

Рис.1.20. Механизм домкрата Решение. Механическая система состоит из зубчатых колес 1,2,3,4,5, зубчатой рейки В и чашки С. Система имеет одну степень свободы, так как повороту рукоятки А соответствуют однозначно повороты всех колес и перемещение рейки с чашкой С. Система идеальная, так как силами трения и силами тяжести пренебрегается. Остается полезная нагрузка Q и преодолевающая ее сила Р. Дадим рукоятке возможный поворот на угол 1, совпадающей по направлению с силой Р. При этом чашка С получит hc. Уравнение возможных работ перемещение вверх на

–  –  –

Рис.1.21. Механизм полиспаста Решение. Сообщим концу каната, к которому приложена сила Q возможное перемещение х. Мгновенный центр скоростей первого блока находится в точке касания его с левой неподвижной ветвью каната. Тогда центр первого блока переместится вверх на величину х /2, поскольку он

–  –  –

В соответствии с принципом возможных перемещений составим уравнение возможных работ P Q x P x / 2 n 0 Q .

2n Таким образом, при наличии, например, трех подвижных блоков выигрыш в силе равен 23 = 8, пяти – 25 = 32, а десяти – 210 = 1024! Поэтому данный механизм широко используется в различных грузоподъемных машинах .

1.2.8. Применение принципа возможных перемещений к определению реакций связей. С помощью принципа возможных перемещений можно решать любые задачи статики, например, определять реакции опор. Для этого связь отбрасывается и заменяется реакцией, которая считается активной силой, а затем системе сообщается возможное перемещение и составляется уравнение возможных работ. Преимущество этого метода перед традиционными уравнениями равновесия в том, что реакции связей находятся независимо друг от друга .

Пример. Найти реакцию опоры В балки (рис.1.22) .

Решение. Отбрасываем опору В заменяя ее реакцией – Rв. Сообщаем системе возможное перемещение и составляем уравнение возможных работ Fsin 60o.C – Rв.В =0 .

Рис.1.22. Рисунок к примеру Находим зависимость между перемещениями: C/2=В/3, откуда C = 2В/3. Тогда, подставляя в уравнение, получим

–  –  –

При определении реакций связей необходимо учесть, что связи могут лишать тело не одной, а нескольких степеней свободы, поэтому их реакции могут состоять из нескольких составляющих, например, реакция неподвижного шарнира разлагается на вертикальную и горизонтальную составляющие, реакция плоской жесткой заделки приводится к двум силам и реактивному моменту и т. д .

Для решения в этом случае нужно связи преобразовать таким образом, чтобы они освободили одну степень свободы, прикладывая в соответствующем направлении неизвестные силы или моменты .

Способы преобразования связей показаны в табл.1.1 .

Пример. Определить реакции опор составной балки (рис.1.23, а), нагруженной силой F = 10 кН .

Применим принцип возможных перемещений .

1. Отбросим опору В и приложим реакцию RВ (рис.1.23, б) .

Сообщаем системе возможное перемещение и составим уравнение возможных работ

–  –  –

Рис.1.23. Составная балка

2. Для определения момента в заделке преобразуем опору А (рис.1.23, в). Зададим возможное перемещение, допускаемое наложенными связями, и составим уравнение возможных работ

–  –  –

3. Для определения вертикальной составляющей реакции опоры А – RАY в преобразуем заделку согласно рис.1.23. г. Зададим возможное перемещение, допускаемое наложенными связями, и составим уравнение возможных работ

–  –  –

F sin 45 D - RAY D / 2 0 RAY 2F sin 45 14,1кН .

4. Для определения горизонтальной составляющей реакции заделки – RАХ в преобразуем ее согласно рис.1.23. д. Зададим возможное перемещение и составим уравнение возможных работ RAX A F cos 45 D 0, A D, RAX F cos 45 7,07 кН Таким образом, все реакции определены независимо друг от друга, что является преимуществом данного метода по сравнениями с методами геометрической статики .

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что называется связями?

2. Как математически выражаются связи, наложенные на систему?

3. Какие связи называются идеальными?

4. Какие связи называются удерживающими и неудерживающими?

5. Какие связи называются стационарными и нестационарными?

6. Какие связи называются геометрическими и кинематическими?

7. Какое перемещение называется возможным?

8. В чем состоит различие между возможными и действительными перемещениями?

9. Как находится число степеней свободы механической системы?

10. Что называется возможной работой?

11. В чем заключается принцип возможных перемещений?

12. Для решения каких задач применяется принцип возможных перемещений?

13. Можно ли применять принцип возможных перемещений в системах с неидеальными связями?

14. Как использовать принцип возможных перемещений для определения реакций связей?

15. В чем преимущество принципа возможных перемещений по сравнению с методами геометрической статики?

16. В чем состоит «золотое правило механики»?

1.3. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

Принцип возможных перемещений дает общий метод решение задач для систем, находящихся в равновесии, а принцип Даламбера сводит решение задач исследования движения к задачам равновесия .

Общее уравнение динамики (или принцип Даламбера-Лагранжа) объединяет эти два принципа и заключается в следующем .

При движении системы с идеальными связями сумма работ активных сил и сил инерции равна нулю на любом возможном перемещении:

–  –  –

Aа i Aiин 0, что и требовалось доказать .

i 1 i 1 Таким образом, после приложения сил инерции решение задачи аналогично решению с помощью принципа возможных перемещений .

Пример. На однородный диск 2 массой m2 намотана нить, к которой привязан груз 1 массой m1. Определить ускорение груза (рис.1.25, а) .

–  –  –

Сообщаем грузу возможное перемещение Х, при этом диск повернется на угол.

Составляем уравнение возможных работ (работа силы Р2 равна нулю, так как она приложена к неподвижной точке):

–  –  –

Рис.1.26. Рисунок к примеру Решение. Система имеет одну степень свободы. Прикладываем активные силы – F, вес стержня Q, вес катков Р. К стержню, который

–  –  –

направлен противоположно ускорению центра диска, а главный момент – противоположно угловому ускорению .

Сообщаем системе возможное перемещение и составляем уравнение возможных работ активных сил и сил инерции, при этом учитываем, что возможное перемещение центров дисков равно половине перемещения стержня, поскольку мгновенный центр скоростей дисков находится в точках касания их с неподвижной поверхностью, а перемещения точек пропорциональны расстояниям от них до мгновенного центра скоростей .

Учитываем также, что величины главных векторов и главных моментов сил инерции и возможные перемещения для всех дисков одинаковы .

Q Fx- x - 3R Иx / 2 - 3m z 0, и

–  –  –

1. Какие принципы объединяет общее уравнение динамики?

2. В чем заключается общее уравнение динамики?

3. Сколько уравнений составляется для данной механической системы?

4. Можно ли использовать общее уравнение динамики, если связи, наложенные на механическую систему не идеальны?

5. Можно ли использовать общее уравнение динамики, если связи, наложенные на механическую систему, не стационарные?

–  –  –

Эти выражения – конкретный пример равенств, показанных в общем виде (1.16) .

1.4.2. Обобщенные скорости .

Обобщенными скоростями механической системы называют первые производные по времени от обобщенных координат:

–  –  –

Существенным является то, что эти перемещения взаимно независимы .

Это следует из взаимной независимости обобщенных координат .

Векторы возможных перемещений точек системы выразятся через обобщенные перемещения следующим образом:

–  –  –

1.4.4. Обобщенные силы. Пусть система имеет "S" степеней свободы и состоит из "п" точек, на каждую из которых действует сила Fi .

Дадим системе возможное перемещение по какой-нибудь одной обобщенной координате. При этом некоторые точки системы (не обязательно все) получат перемещения, а действующие на них силы совершат возможную работу .

Обобщенной силой, соответствующей некоторой обобщенной координате, называют отношение суммарной возможной работы сил системы к возможному перемещению по той же самой обобщенной координате:

n

–  –  –

A – сумма возможных работ тех сил, которые получили перемещения i i 1 при заданном возможном перемещении той же обобщенной координаты;

Qj – обобщенная сила, соответствующая той обобщенной координате, которой дано возможное перемещение .

По формуле (1.22) видно, что размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты. Если за обобщенную координату принято линейное расстояние, то обобщенная сила измеряется в обычных единицах силы. Если же обобщенной координатой является угол поворота, то обобщенная сила выразится в единицах силового момента .

Пример. Дадим возможное перемещение - поворот кривошипа на малый угол против хода часовой стрелки. При этом поршень получит перемещение влево (рис.1.27). Нагрузочный момент и силы давления на поршень произведут возможную работу.

Обобщенная сила, соответствующая углу поворота кривошипа, определится по формуле (1.22) с учётом выражения для перемещения поршня (13):

–  –  –

С другой стороны, сумму возможных работ в обобщенных координатах можно толковать, по аналогии с обычными представлениями об элементарной работе, как сумму произведений каких-то обобщенных сил на их возможные перемещения:

n

–  –  –

1.4.5. Выражение принципа возможных перемещений в обобщенных координатах. Как уже отмечалось, здесь и далее рассматриваются механические системы с идеальными, удерживающими, стационарными и голономными связями. Допустим, что механическая система состоит из "п" материальных точек и имеет "S" степеней свободы .

На точки действуют активные силы Fi, где i = 1, 2, …, n. Принцип возможных перемещений (или принцип Лагранжа), как известно, заключается в следующем .

Для равновесия механических систем с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма работ активных сил равнялась нулю на любом возможном перемещении:

n

–  –  –

где коэффициенты при обобщенных скоростях от скоростей не зависят, а сами обобщенные скорости взаимно независимы. Учитывая это, продифференцируем последнее равенство, например, по первой обобщенной скорости:

–  –  –

Аналогичную проверку можно сделать по любой степени свободы и этим доказана справедливость равенства (1.37), имеющего следующий смысл: частная производная от векторной координаты точки по какойлибо обобщенной координате равна частной производной от векторной скорости точки по соответствующей обобщенной скорости .

Равенство (1.35) примет вид:

–  –  –

Здесь учтено также, что скалярный квадрат вектора скорости равен квадрату величины скорости .

Используя равенство (1.38), представим исходное уравнение в виде:

–  –  –

Левую часть этого уравнения можно представить в виде разности двух сумм; постоянную массу точки внесем под знаки производных, а суммы производных заменим производными от тех же сумм:

–  –  –

Окончательно уравнения получают вид:

d T T Qj, (1.39) dt q j q j где j = 1, 2, …, S .

Это и есть уравнения Лагранжа .

1.4.8. Методика применения уравнений Лагранжа. Число дифференциальных уравнений Лагранжа всегда равно числу степеней свободы механической системы и не зависит от количества тел, входящих в данную систему .

Символ частных производных в уравнениях Лагранжа имеет тот смысл, что эти уравнения составляются по той или иной обобщенной координате. Однако, по каждой отдельной координате уравнения Лагранжа являются обыкновенными (не в частных производных) дифференциальными уравнениями второго порядка относительно выбранной координаты .

В уравнения Лагранжа не входят силы реакций связей. Если же на систему действуют силы трения, то ИХ надо учитывать при вычислении обобщенных активных сил, т.е. работу сил трения включать в сумму работ активных сил .

При использовании уравнений Лагранжа для решения задач рекомендуется следующий порядок:

1) Давая системе различные возможные перемещения, определить число степеней свободы и выбрать соответствующие обобщенные координаты .

2) Определить обобщенные силы .

3) Определить суммарную кинетическую энергию системы и выразить её через обобщенные координаты и скорости .

4) Найти частные производные от кинетической энергии по каждой обобщенной координате и по каждой обобщенной скорости, а производные по скоростям продифференцировать еще и по времени .

5) Подставить все найденные по каждой обобщенной координате производные и обобщенные силы в уравнения Лагранжа .

Составленная система "S" обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка позволяет находить искомые механические характеристики движения системы .

Пример. Бегающая шестеренка приводится во вращение кривошипом с противовесом, с помощью которого вся подвижная часть механизма сбалансирована, т. е. её центр тяжести совпадает с неподвижной осью О. Известно: М – вращающий момент; r1 - радиус бегающей шестеренки, m1 - её масса; l - расстояние между осями вращений; J0 момент инерции кривошипа с противовесом относительно оси О; J1 момент инерции шестеренки относительно её оси. Определить угловое ускорение кривошипа и окружное усилие в точке касания шестеренок .

Трением пренебречь .

–  –  –

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что представляют собой обобщенные координаты?

2. Какова размерность обобщенных координат?

3. Что представляют собой обобщенные скорости?

4. Какова размерность обобщенных скоростей?

5. Понятие обобщенных сил .

6. Размерность обобщенных сил

7. Как найти обобщенные силы если все силы, действующие на точки системы, являются потенциальными?

8. Как записываются уравнения равновесия системы в обобщенных координатах?

9. Как записывается общее уравнение динамики в обобщенных координатах?

10.Как формулируется уравнение Лагранжа второго рода?

11. Сколько уравнений Лагранжа составляется для данной механической системы?

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 1

1. Бутенин Н. В. Краткий курс теоретической механики. – М.: Наука, 1985 .

2. Воронков И. М. Курс теоретической механики. – М.: Наука, 1986 .

3. Гернет М. М. Курс теоретической механики. – М.: Наука, 1965 .

4. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики, ч. 1 и 2 .

– М.: Наука, 1954 .

5. Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М.:

Наука, 1986 .

6. Митягин Н. П., Пирогов С. П. Понятия, формулы, уравнения теоретической механики (справочник). – Тюмень: Из-во «Нефтегазовый университет», 2005 .

7. Никитин Н. Н. Курс теоретической механики. – М. : Высшая школа, 1990 .

8. Николаи Е. Л. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1954 .

9. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для вузов .

18-е изд. - М.: Высшая школа, 2010. – 416 с .

10. Яблонский А. А. и др. Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике. – М.: Высшая школа, 1985 .

11.Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики. 16е изд. – М.: КноРус, 2011. – 608 с .

12.Бертяев В. Д., Булатов Л. А., Митяев А. Г., Борисевич В. Б. Краткий курс теоретической механики: Учебник. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2011. – 196 с .

ГЛАВА 2 КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

2.1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КОЛЕБАНИЙ 2.1.1. Понятие колебаний. Колебания - это такая тема, которая представляет огромную важность для инженеров. Большое количество литературы в данной области науки посвящено различным направлениям теории колебаний - линейным, нелинейным, параметрическим и т.д., что затрудняет ориентацию расчетчика конкретной машины или механизма. В настоящей работе делается попытка ориентировать студентов по данной теме с тем, чтобы, выяснив, какой вид колебательного движения имеет место при расчете конкретного объекта, он мог бы самостоятельно подобрать литературу по этому направлению и сформулировать общий подход к исследуемому объекту в случае его колебательного движения .

С понятием "колебания" мы встречаемся многократно на каждом шагу своей деятельности. Сердца наши бьются, мы дрожим, когда холодно, мы даже не можем правильно произнести слово "вибрация" (vibration) без того, чтобы кончик нашего языка не колебался .

Примем в качестве общего определения колебаний следующее: это любой знакопеременный процесс, обладающий свойством повторяемости .

Исходя из этого определения можно указать бесконечное множество типов колебания: механические, электромагнитные, химические, биологические, наконец, политические колебания, к исследованию которых часто применимы общие закономерности .

Примером биологических колебаний является наблюдаемое учеными Канады изменение количества зайцев и лис в лесах вблизи Великих Озер .

С увеличением числа зайцев возрастает и число лис, ими питающихся;

естественно, что когда количество зайцев начинает уменьшаться, для лис становится мало пищи и количество их уменьшается, поэтому увеличивается число зайцев и так далее. Аналогичное явление наблюдали и сотрудники биологического факультета Тюменского государственного университета при исследовании численности щук и карасей в изолированных озерах юга Тюменской области .

Одним из авторов работы в 1996 году проанализировано состояние волосяного покрова головы у руководителей Российского государства, начиная с Александра III, который имел большие залысины. Его преемник, Николай II, имел кудрявую шевелюру, князь Г. Е. Львов, первый руководитель Временного правительства – лысоват, у А.Ф. Керенского – густые волосы, В. И. Ульянов-Ленин был лысый, И. В. ДжугашвилиСталин до конца жизни не терял волос, Н. С. Хрущев – лысый, Л. И .

Брежнев – кудрявый, Ю. В. Андропов – лысоват, К. У. Черненко – волосатый, М. С. Горбачев – лысый, Б. Н. Ельцин – кудрявый. Каким же будет следующий руководитель? Исходя из наблюдающейся закономерности шансы имелись у В. Черномырдина, Е. Гайдара, Г .

Зюганова и никаких – у В. Жириновского (впрочем, ничто не будет мешать ему стать еще более поздним руководителем) .

Президентом стал никому тогда не известный В. В. Путин, что подтвердило лишний раз наблюдающуюся закономерность, после него Д .

А. Медведев и снова В. В. Путин. Закономерность подтверждается!

Инженера-механика, несомненно, интересуют в первую очередь механические колебания. В настоящее время имеется стандартизованное определение механических колебаний: это такое движение механической системы, при котором хотя бы одна обобщенная координата или ее производная по времени поочередно возрастает и убывает .

2.1.2. Причины изучения колебаний. В наше время на исследования различных типов колебаний затрачиваются большие средства. В некоторых случаях, когда колебания желательны, исследования ведутся в целях их регулирования. Чаще задача заключается в выяснении причин возникновения колебаний и их предотвращении, если это возможно .

Обобщая обстоятельства, при которых инженер учитывает, будет ли роль колебательного процесса существенной для проектируемого объекта, можно выделить следующие причины повышенного внимания к колебаниям:

1. Устранение аварийных режимов .

2. Обеспечение точности выполнения процесса .

3. Обеспечение необходимого срока эксплуатации .

4. Обеспечение технологического процесса, использующего колебательные процессы .

5. Защита человека-оператора от вредного влияния колебаний на организм .

К аварийным режимам, возникающим вследствие колебаний, следует отнести резонансные разрушения. Такой тип разрушения обычно столь же катастрофичен, сколь и неожидан. Широко известен пример разрушения моста при прохождении взвода солдат, разрушение потолка помещения одной из дореволюционных государственных дум. В настоящее время актуально предотвращение опасных автоколебаний различных высотных сооружений и быстролетящих объектов .

Точность технологических процессов, например, точность обработки изделия на металлорежущем станке, также зависит во многом от процесса колебаний режущего инструмента и самой детали, закрепленной в приспособлении. Электронную аппаратуру самолетов и ракет часто приходится устанавливать на специальные виброизолирующие опоры для того, чтобы колебания частей самолета или ракеты не повлияли на ее работу. Проблемой для точного наведения подводных лодок на курс является вибрация ее перископа .

Влияние колебаний на уменьшение сроков эксплуатации изделий сказывается из-за усталости материала. Известно, что если образец какоголибо материала выдерживает определенную однократную нагрузку, то при нескольких нагружениях разрушающая нагрузка уменьшается и зависит от количества и характера циклов нагружения. Если гайка навернута на болт, находящийся под действием переменной нагрузки, то возможно ослабление соединения, поэтому в этом случае следует предусмотреть и предотвратить самоотвинчивание. Явление усталостного разрушения связано с наличием высоких местных напряжений, причем во многих случаях эти напряжения неизбежны .

Во многих случаях вибрации являются полезными и поддерживают заданный технологический процесс. Пусть, например, инженер должен вынуть пробку из бутылки. Если пробка притерта плотно, то он будет делать то же, что и другой опытный в этом отношении человек – уменьшать силу трения, препятствующую движению, путем поворачивания пробки в обе стороны .

В продаже имеются стиральные машины, принцип работы которых основан на возбуждении колебаний. На строительных площадках незаменимы вибросита, используемые для разделения сыпучих материалов, отбойные молотки, предназначенные для разрушения твердых пород. Можно привести и другие известные примеры использования колебаний в технике: вибротранспортировка, часовая промышленность и т.д .

Особое внимание следует уделять влиянию колебаний на человеческое тело. Оно может выдержать значительные амплитуды перемещений, если изменение направления перемещений происходят не слишком часто, например, катание в лифте вверх и вниз; но с увеличением частоты колебаний проблема может стать достаточно серьезной, что может подтвердить каждый, испытывающий морскую болезнь при качке корабля .

Весьма неприятные ощущения вызывают колебания низкой частоты – 5-30 Гц (колебаний в секунду). При кратковременных звуковых и инфразвуковых колебаниях (раскаты грома, удар молотком по листу металла) человек испытывает страх. Этим объясняют проблему "летучих голландцев" – кораблей, покинутых экипажем. Колебания, вызванные подводными землетрясениями и волнами "цунами", вызывали ужас у экипажа, и люди бросались в воду. Достаточно длительные колебания вызывают смещение внутренних органов человека и профессиональные болезни, например, у водителей автомобилей и сельскохозяйственных машин. В работе /1/ обобщены ситуации, показывающие влияния амплитуд и частот на организм (рис. 2.1) .

Рис. 2.1. Влияние амплитуды и частоты колебаний на организм человека Конечно, эти кривые являются приближенными и не могут дать полной картины, поскольку исследований в этой области недостаточно и многие биологические эффекты вообще не имеют связи с частотой .

В настоящее время исследование влияния колебаний на организм человека проводятся в институте машиноведения Российской академии наук под руководством вице-президента академика К.Фролова. Вот как описывает свои ощущения корреспондент "Российской газеты" при испытании на экспериментальном стенде /12 /:"...лаборант начал медленно поворачивать верньер на пульте управления, меняя частоту вибрации.. .

Сначала неясное томление в ступнях, потом их стало ломить, и вдруг я перестал их ощущать. А томление поднималось все выше, к коленям, и вслед за вращением верньера я терял ощущение собственного тела .

Попробовал ущипнуть ногу - ее можно было хоть резать. А омертвление уже переползало через поясницу. Передать это ощущение умирания невозможно: в человеческом языке нет таких слов. Каждая клеточка кричит о жизни... А я был уже наполовину труп - смерть подползала к грудной клетке..."

2.1.3. Выбор расчетной схемы и структура динамического расчета .

Схема динамического расчета колебательного движения объекта показана на рис. 2.2 .

–  –  –

На основе исследуемого объекта составляются его динамические модели. Они представляют собой взаимосвязанные между собой и с внешними связями упругими и диссипативными элементами инерционные элементы, к которым приложены возмущающие нагрузки .

Инерционные элементы представляют собой материальные точки, имеющие массы и тела, имеющие массу и момент инерции (или только момент инерции) .

Жесткостные элементы (характеристики) изображены на рис. 2.3 .

Линейные жесткости имеют размерность силы/перемещения, а угловые момента. Показанные жесткости имеют линейный характер, когда восстанавливающая сила (момент) пропорциональна перемещению, но могут быть и более сложные элементы с нелинейными восстанавливающими силами .

–  –  –

Наличие в объекте диссипативных сил сопротивления (зависящих от скорости) отражается в схеме диссипативными элементами – (см. рис .

2.4.) .

Такие элементы также могут иметь нелинейные характеристики .

Возмущающие силы могут иметь различный источник возникновения электромагниты, давление газов. В некоторых случаях возмущающие силы представляют собой случайный процесс (сейсмические нагрузки, действие неровной дороги, волнение водной поверхности). Характеристики таких случайных процессов (математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция) получаются путем обработки экспериментальных данных .

Для любого объекта можно составить несколько динамических моделей, отражающих его свойства в разной степени. Обычно начинают с наиболее простой схемы, последовательно усложняя ее путем введения дополнительных элементов и разбивая его на более мелкие части .

Несколько динамических моделей автомобиля изображено на рис. 2.5 .

Каждая из моделей позволяет исследовать определенные свойства движения; например, с помощью схемы на рис 2.5, б можно рассчитать вертикальные колебания, на рис.2.5, в - продольные колебания и т.д. Если надо определить только частоты колебаний то диссипацию можно не учитывать, а если амплитуды, то нужно учитывать (рис.2.5, г). На рис. 2.6 изображена схема динамической модели мотоцикла .

После составления динамических моделей переходят к составлению математических моделей, то есть дифференциальных уравнений, которые решаются аналитическими или численными методами. Естественно, что с усложнением динамических моделей существенно возрастает трудность решения уравнений, поэтому, хотя математическая модель и является

–  –  –

"мельницей, которая все переварит", не нужно чрезмерно усложнять расчетную схему .

Правильность решения проверяется с помощью эксперимента. Он может быть модельным, натурным либо численным. После этого производится оптимизация параметров, а затем необходимые изменения вносятся в исследуемый объект .

Схема 2.1 .

4. Классификация механических колебаний .

классификации механических колебаний изображена на рис. 2.7 .

Все колебания можно классифицировать по четырем признакам:

1. По виду возмущения .

2. По виду деформации .

3. По виду динамической модели .

4. По виду математической модели .

По виду возмущения колебания можно подразделить на свободные, вынужденные, параметрические и автоколебания .

Рис. 2.7. Классификация механических колебаний Свободными (собственными) колебаниями называются такие, при которых энергия в систему вносится один раз в начале процесса, то есть либо изменяется потенциальная энергия путем сообщения начального отклонения, либо кинетическая - с помощью толчка сообщается начальная скорость. В дальнейшем система предоставлена самой себе. Пример – колебания грузика на пружине, маятник (рис. 2.8.) Вынужденные колебания вызываются произвольно изменяющимися силами, например периодическими (в частном случае –гармоническими) .

Энергия вносится в течение всего процесса. Возбуждение может быть силовым (например, на рис. 2.9. колебания балки вызываются периодически изменяющимися силами инерции) и кинематическим (рис. 2.10.), когда перемещается точка подвеса .

Параметрические колебания вызываются периодическими изменениями инерционных или жесткостных параметров самой системы и возникают в сравнительно узком диапазоне частот. Примером их может быть самораскачивание качелей, когда человек, находящийся на них, приседая и распрямляясь, периодически изменяет их инерционную характеристику, а также колебания шахтных подъемников, вызванные изменением жесткости рельсов между опорами .

Рис. 2.8.Свободные колебания

Рис. 2.9.Вынужденные колебания Рис. 2.10.Вынужденные колебания с силовым возбуждением с кинематическим возбуждением Автоколебания являются признаком нелинейных систем, это свободные колебания нелинейных систем, которые вызываются силами от энергетического источника неколебательного характера. Такими силами могут быть силы тяжести (часы-ходики, приводимые в движение гирей), силами трения (рис.2.11.) - горизонтальные автоколебания упругого закрепленного груза, находящегося на движущейся бесконечной ленте, силами сопротивления среды (флаттер крыльев самолета - рис.2.12.). В качестве одного из способов транспортировки нефти было предложено перевозить ее в гибких резервуарах в форме колбасы. При проведении пробных экспериментов "колбаса", подцепленная к катеру, стала двигаться не прямолинейно, а как гусеница, совершая волнообразные движения .

Рис. 2.11. Автоколебания под действием сил трения

Рис. 2.12. Автоколебания под действием сил сопротивления среды По виду деформации колебания подразделяются на продольные, поперечные и крутильные. Продольными называются такие колебательные движения, направление которых совпадает с осью упругого элемента. Пример колебания грузика на пружине. Поперечные - это колебания, при которых ось упругого элемента перпендикулярна перемещению, например, поперечные колебания балок (рис.2.9.). Крутильные - те, которые приводят к изменению угла поворота тела .

По виду динамической модели различают системы с сосредоточенными параметрами, которые имеют конечное число степеней свободы, и системы с распределенными параметрами, имеющие бесконечное число степеней свободы .

Хотя для реальных систем это число всегда бесконечно велико, но в ряде случаев практически достаточен учет конечного числа существенных степеней свободы. При схематизации системы наиболее легкие элементы полагают вовсе лишенными массы, сравнительно жесткие части считают вообще не деформируемыми, а отдельные малые тела представляют в виде материальных точек .

При формировании динамических моделей задачей является приведение распределенных масс к системам с ограниченным количеством Введение элементов трения в механическую систему иногда приводит к изменению числа степеней свободы и образованию систем с нецелым числом степеней свободы .

Системами с распределенной массой являются стержни, пластины, оболочки и т.д., так как в каждый момент времени конфигурация их определяется не конечным числом параметров, а является функцией пространственной системы координат .

По виду математической модели различают линейные колебания и нелинейные. Линейными являются системы, движение которых характеризуются линейными дифференциальными уравнениями .

Таблица 2.1 Характеристики трения и их условное обозначение

–  –  –

Это будет наблюдаться, если упругие элементы имеют линейные характеристики, а силы сопротивления пропорциональны первой степени скорости .

Нелинейность механической системы может быть обусловлена нелинейностью упругой характеристики или характеристики трения. В последнем случае различают диссипативные системы и фрикционные автоколебательные системы. В диссипативных системах трение является причиной рассеивания энергии, а в автоколебательных системах благодаря силам трения происходит приток энергии в систему (схема на рис. 2.11) .

Типичные характеристики трения приведены в табл. 2.1 .

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Общее понятие и виды колебаний 1 .

Понятие механических колебаний 2 .

Почему изучению колебаний уделяется большое внимание?

3 .

Из каких элементов состоят динамические модели?

4 .

По каким признакам классифицируются механические колебания?

5 .

В чем заключаются отличительные признаки свободных 6 .

колебаний?

7. В чем заключаются отличительные признаки вынужденных колебаний?

8. В чем заключаются отличительные признаки автоколебаний?

9. В чем заключаются отличительные признаки параметрических колебаний?

10. Что вызывает нелинейность?

2.2. ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

2.2.1. Общее понятие устойчивости. Со словом “устойчивость” можно встретиться довольно часто не только в механике, но и в повседневной жизни, например: “морально устойчивый человек”, “пшеница дает устойчивый урожай”, “автомобиль устойчив в управлении” и так далее. Окружающий нас мир полон примеров устойчивого и неустойчивого. Многого мы не замечаем - порой, по неосведомленности, а то и по невнимательности .

Нередко приходится в описаниях красот озера Байкал читать такие строки: “Около трехсот больших и малых рек впадает в озеро Байкал. И только одна Ангара уносит из него свои воды...” И многие удивляются такому сопоставлению втекающих и вытекающих рек. А между тем удивляться этому не следует. Вряд ли можно отыскать на Земле озеро, из которого вытекало бы более одной реки. Ибо система: озеро и два истока из него - неустойчива. И в этом можно убедиться путем простых рассуждений .

Положим, что из озера вытекают две одинаковые реки с равными расходами воды. Сообщим системе малое возмущение. Представим себе, что одна из рек по какой-то причине начала размывать свое русло больше, чем вторая. Расход в этой реке увеличится, а во второй - соответственно уменьшится, поскольку приток остается неизменным. Дальше - больше .

Вторая река исчезает вовсе, и останется только первая .

Поэтому важно выработать не только механическое, но и общее понятие устойчивости, которое было бы применимо и в любой практической деятельности .

Для этого любой процесс, явление, предмет можно представить в виде следующей схемы (рис. 2.13.) .

Рис. 2.13. Схема произвольного процесса

Сам предмет - это черный ящик, процессы в котором не исследуются. В этот ящик поступают естественные входы, то есть то, от чего зависит этот предмет. Свойства, которыми обладает этот предмет, называются естественными выходами. Для каждого черного ящика можно указать бесчисленное количество естественных входов и выходов .

Например, черным ящиком является производство пшеницы (рис. 2.14.) .

Рис. 2.14. Схема производства пшеницы Для него естественными входами будут качество почвы, погода, семена, удобрения и т.д. Естественные выходы - урожайность, наличие белка, твердость зерна, влажность и другие свойства .

Процесс воспитания студентов отражен на рис. 2.15: естественные входы для этого процесса – школа, родители, друзья, пресса, телевидение, наследственность, а выходы – поведение, успеваемость, физическое состояние и т.п .

Устойчивым называется такое состояние, процесс, предмет, при которых малые отклонения естественных входов приводят к малым отклонениям естественных выходов (в данном конкретном отношении) .

Рис. 2.15. Схема воспитания студента Процесс называется неустойчивым, если малые отклонения естественных входов приводят к большим отклонениям естественных выходов .

Так пшеница будет устойчивой по урожайности, если небольшие отклонения погоды, качества почвы или других естественных входов, мало влияют на урожайность. Большие же отклонения естественных входов, например, ураган с градом, все равно приведут к гибели урожая, какой бы устойчивой пшеница ни была. Она будет неустойчивой по урожайности, если даже небольшие отклонения погоды, качества почвы и других факторов приведут к большим потерям .

Студент будет морально устойчивым, если в любой нормальной окружающей его среде его поступки не выходят за рамки общепринятых .

Естественно, если поместить его в резко отличную среду на длительное время, например, к уголовникам, то необратимые изменения его моральных свойств неизбежны. Этим можно объяснить то, что из мест заключения нормальными людьми приходят редко, а процесс приспособления таких людей к обычной жизни происходит длительно и болезненно .

Известный летчик -испытатель Марк Галлай в своей книге описывает случай из своей жизни. В одном из конструкторских бюро был разработан новый военный самолет, отличный по своим боевым качествам .

После длительных испытаний, целиком подтвердивших эти качества, самолеты данной конструкции стали поступать в обычные воинские части .

И тут случилось непредвиденное: несколько аварий с новым самолетом .

Многочисленные комиссии по расследованию аварий не могли прийти к однозначному выводу - конструкторы настаивали на ошибках летчиков, так как при испытаниях аварий не было, а военные настаивали на недостатках конструкции .

Общее мнение склонялось к тому, что пилотами нарушалась инструкция по управлению. М. Галлай сделал вывод о том, что машина неустойчива в управлении: при пилотировании ее опытными летчикамииспытателями она вела себя, как и требовалось, но при пилотировании обычными военными летчиками, навыки которых не столь высоки, машина теряла управление. То есть небольшие отклонения естественных входов (мастерства управления) приводили к большим отклонениям естественных выходов (аварийным ситуациям). Что же касается нарушений инструкций пилотирования, то Галлай предложил присутствующим инструкцию хождения по канату: нужно держать центр тяжести тела на одной вертикали с канатом. Однако многие ли смогут выдержать эту инструкцию?

Вопрос о дальнейшей судьбе самолета был закрыт .

2.2.2. Понятие об устойчивости равновесия в механике .

Состояние равновесия механической системы называется устойчивым, если, будучи выведенной из этого состояния, система стремится вернуться в первоначальное положение и совершает относительно его колебательное движение - например шарик на внутренней поверхности цилиндра (рис .

2.16, а.) .

Состояние равновесия механической системы называется неустойчивым, если, будучи выведенной из этого состояния, система никогда не вернется в прежнее положение (рис. 2.16, б.) .

Рис. 2.16. Виды равновесия Состояние равновесия называется безразличным, если выведенная из равновесия система и в новом положении будет в равновесии (рис. 2.16, в.) .

Иногда устойчивость подразделяется на устойчивость в малом и устойчивость в большом .

Положение равновесия называется устойчивым в малом, если малые отклонения системы не выводят ее из положения равновесия, а большие выводят (рис.2.17, а, б.) .

Рис. 2.17. Равновесие в малом

Положение равновесия называется устойчивым в большом, если любые отклонения системы не выводят ее из положения равновесия .

Равновесие может быть одновременно устойчивым и в большом и в малом (рис. 2.16, а.), только в малом и даже неустойчивым в малом, но устойчивым в большом (рис. 2.17, в.) .

2.2.3. Математическое определение устойчивости (устойчивость по Ляпунову). При определении условий равновесия механической системы возникает вопрос о практической реализации этих условий .

Математически это условие было поставлено А.М. Ляпуновым: равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если ее можно вывести из этого настолько малым возмущением (смещением, толчком), что во все последующее время отклонение системы от положения равновесия будут меньше любого, сколь угодно малого отклонения. Это условие, выраженное в обобщенных координатах для системы с S

cтепенями свободы имеет вид:

q 01 1,..., q 0S s ;

(2.1) q 01,..., q 0S .

1 S Если при устойчивом равновесии все координаты и скорости с течением времени стремятся к нулю, то рассматриваемое положение равновесия называется асимптотически устойчивым .

Один общий критерий, устанавливающий достаточное условие устойчивости равновесия консервативной системы, дает теорема Лагранжа-Дирихле: если потенциальная энергия системы имеет в положении равновесия строгий минимум, то равновесие является устойчивым .

Даваемое теоремой условие устойчивости равновесия является, однако, лишь достаточным и не позволяет судить о том, что будет, если в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума .

Рассмотрим систему с одной степенью свободы. Выберем, что в положении равновесия обобщенная координата системы равна нулю: q = 0 .

Тогда условие минимума потенциальной энергии

–  –  –

Пример. Определить, в каком положении невесомый стержень ОА длиной L, на конце которого находится точечный груз массой m, будет находиться в положении устойчивого равновесия (рис. 2.18.) .

Решение. Хотя задача и является тривиальной, но данный пример наиболее прост для иллюстрации применения теоремы Лагранжа-Дирихле .

В качестве обобщенной координаты выберем угол поворота стержня, отсчитывая его от вертикали. Потенциальная энергия в произвольном положении системы равна работе, которую совершают силы при перемещении системы из данного положения в нулевое .

–  –  –

2 mgL 0, q то есть положение равновесия неустойчиво, поскольку условие (2.2) не выполняется .

Пример. Определить условия, при которых стержень AD (рис .

2.19,а.), прикрепленный к двум пружинам, будет находиться в положении устойчивого равновесия, если его масса m, длина L, расстояние от оси вращения до точки крепления пружин АВ = h, жесткости пружин с1 и с2, их начальные деформации равны 01 и 02 соответственно .

Решение. В качестве обобщенной координаты выберем угол поворота стержня от вертикали (рис. 2.19,б.). Потенциальная энергия в произвольном положении системы будет равна: П = П1+П2, где

–  –  –

При нахождении потенциальной энергии полагаем угол малым, то есть cos = 1- / 2 .

Раскрывая скобки и суммируя все слагаемые, представим выражение для потенциальной энергии в виде 0 (mgL / 4) 2 (c110 c2 20 )h 0,5(c1 c2 )h2 2, где П0 - включает все величины, не зависящие от. Отсюда находим (mgL / 2) ( c1 10 c 2 20 ) h ( c1 c 2 ) h 2 .

Для того, чтобы стержень находился в равновесии при =0, эта производная должна быть равна нулю, что выполнимо при с1 01 = c. 02 .

Далее находим вторую производную:

mgL / 2 ( c1 c 2 ) h 2 .

Для того, чтобы положение равновесия было устойчивое, это выражение должно быть положительным, то есть выполнялось условие mgL ( c1 c2 ) .

2h2 Теорема Лагранжа-Дирихле дает критерий, позволяющий утверждать, что равновесное положение консервативной системы устойчиво, если ее потенциальная энергия имеет минимум, однако с помощью ее нельзя определить, каково равновесие системы, если потенциальная энергия в равновесном положении не имеет минимума. В этих случаях применяются теоремы Ляпунова о неустойчивости равновесия .

Теорема 1. Равновесие системы является неустойчивым, если ее потенциальная энергия в этом положении не имеет минимума; при этом отсутствие минимума определяется членами второго порядка малости, действительно входящими в разложение уравнения потенциальной энергии в ряд Маклорена по степеням малых приращений обобщенных координат .

Теорема 2. Равновесие системы неустойчиво, если ее потенциальная энергия в данном положении имеет максимум, при этом наличие максимума устанавливается членами наименее высокого порядка малости, действительно входящими в разложение уравнения потенциальной энергии в ряд Маклорена по степеням малых приращений обобщенных координат .

Теорему 2 применяют тогда, когда невозможно определить наличие или отсутствие минимума потенциальной энергии по членам второго порядка, например, в случае, когда члены второго порядка малости в разложении потенциальной энергии отсутствуют .

Теорема Лагранжа-Дирихле и теоремы Ляпунова применяются для консервативных систем. Устойчивость равновесия неконсервативной системы определяют путем исследования характера движения системы, которое возникает при нарушении равновесия .

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Общее понятие устойчивости .

2. Понятие об устойчивости в механике .

3. Устойчивость по Ляпунову .

4. Виды состояния равновесия .

5. Устойчивость в большом и малом

6. Теорема Лагранжа-Дирихле .

7. Первая теорема Ляпунова .

8. Вторая теорема Ляпунова .

2.3. КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

2.3.1. Свободные колебания системы с одной степенью свободы при отсутствии сил сопротивления. Рассмотрим движение механической системы с одной степенью свободы, на которую наложены голономные, стационарные и идеальные связи, около положения устойчивого равновесия под действием только восстанавливающей силы .

Кинетическая Т и потенциальная П энергия системы в этом случае определяются выражениями

–  –  –

Выражение (2.4) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний системы с одной степенью свободы .

Общее решение уравнения (2.4) имеет вид

–  –  –

где а и с соответственно коэффициенты инерции и жесткости системы, определяемые из выражений для кинетической и потенциальной энергии системы .

За одно колебание фаза колебаний изменяется на угол 2, то есть

–  –  –

На основании полученных формул можно сделать выводы о свойствах свободных колебаний системы с одной степенью свободы .

1. Свободные колебания системы представляют собой гармонические колебания .

2. Амплитуды колебаний точек системы, а также начальная фаза колебаний зависят от начальных условий .

3. Период и частота колебаний не зависят от начальных условий, а определяются свойствами самой системы, и для их нахождения не требуется решать дифференциальные уравнения .

4. Отношения амплитуд различных точек системы не зависят от начальных условий .

Эти свойства свободных колебаний системы с одной степени свободы основываются на приближенных линейных дифференциальных уравнениях. Эти уравнения имеют достаточную точность лишь при малых амплитудах .

Пример. Однородный стержень массой m и длиной L удерживается в горизонтальном положении вертикальной пружиной жесткостью С .

Определить период и частоту колебаний системы (рис. 2.23) .

–  –  –

Аналогично находятся и другие обобщенные силы сопротивления .

По аналогии с кинетической и потенциальной энергиями системы вводится понятие диссипативной функции или функции рассеивания Рэлея

–  –  –

то есть их можно найти как частные производные от диссипативной функции по соответствующей обобщенной скорости, взятые с противоположным знаком .

В случае стационарной связи диссипативную функцию можно представить в виде однородной положительной квадратичной функции обобщенной координаты

–  –  –

Уравнение (2.10) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний при наличии сил вязкого трения .

Решение этого уравнения зависит от соотношения коэффициента n, характеризующего сопротивление, и k- собственной частоты колебаний, зависящей от инерционных и жесткостных характеристик системы .

Рассмотрим три случая:

1. Случай малого сопротивления: nk, Решение уравнения имеет вид q Ae nt Sink1t, (2.11) где k1 k n, а значения постоянных А и зависят от начальных условий и равны

–  –  –

Колебания, проходящие по закону (2.11), называются затухающими .

График затухающих колебаний изображен на рис. 2.25 .

Он представляет собой синусоиду, заключенную в экспоненту .

Множитель e-nt c течением времени уменьшается, поэтому отклонения системы от положения равновесия стремятся к нулю .

Период затухающих колебаний

–  –  –

Из формулы (2.12) видно, что период затухающих колебаний будет несколько больше периода собственных колебаний, но при малых значениях n эти величины приближенно равны, то есть малое сопротивление на период колебаний практически не влияет .

Степень затухания характеризуется отношением двух последовательных отклонений q1 Ae nt1 Sink1t,

–  –  –

Данная величина называется декрементом затухания .

Модуль логарифма этой величины nT1 называется логарифмическим декрементом затухания .

2.Случай большого сопротивления: nk, в этом случае решение уравнения (2.10) ищется в виде

–  –  –

Данное движение также будет апериодическим. Вид его отражается теми же самыми графиками .

Рассмотрев влияние сил сопротивления, пропорциональных скорости, можно сделать следующие выводы .

1. Силы сопротивления, совершая отрицательную работу, вызывают непрерывное уменьшение энергии вибрирующей системы, а следовательно, постепенное уменьшение амплитуд свободных колебаний .

2. Влияния малого сопротивления на частоту и период свободных колебаний системы незначительны, однако даже очень малое сопротивление вызывает быстрое затухание этих колебаний .

3. При больших сопротивлениях происходит апериодическое движение, то есть колебательный процесс отсутствует .

Пример. Найти период и частоту затухающих колебаний системы (рис.2.27.) и условие, при котором движение будет апериодическим, если масса стержня равна m, длина – L, жесткость пружины – С, сила сопротивления демпфера пропорциональна скорости: R = V, ось демпфера находится на расстоянии L1 от оси рычага .

В качестве обобщенной координаты принимаем угол поворота стержня - .

–  –  –

2.3.4. Свободные колебания при наличии сухого трения. В случае нелинейного сопротивления обобщенная сила сопротивления является нелинейной функцией обобщенной скорости

–  –  –

Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы примет вид aq cq QR (q) .

Точное решение данного уравнения при помощи элементарных функций в большинстве случаев невозможно, и, как правило, они решаются численными методами на ЭВМ .

Однако малое сопротивление, как линейное, так и нелинейное, влияет на частоту свободных колебаний незначительно, поэтому период колебаний можно принять равным периоду свободных колебаний, то есть Т=2/к .

Интерес представляет решение в случае действия на точки системы сил сухого (Кулонова) трения. В этом случае по модулю сила трения постоянна и определяется формулой Fтр = f N .

Сила трения направлена в противоположную сторону скорости. График этой силы показан на рис. 2.28 .

–  –  –

За ту половину цикла колебаний, при которых q 0, величина q уменьшится на величину 2а .

Рассматривая вторую половину цикла, можно сделать вывод, что и за это время размахи величины q уменьшатся на 2а, то есть амплитуда колебаний уменьшается в арифметической прогрессии. График этих колебаний изображен на рисунке 2.29 .

Рис. 2.29. График затухающих колебаний при /Fтр/ = const Движение прекратится, если размахи колебаний становятся меньше а, так как в этом случае силы трения уравновешивают восстанавливающие силы .

Пример. Тело массой m = 0,5 кг лежит на шероховатой горизонтальной поверхности с коэффициентом трения f = 0,2 (рис.2.30) и прикреплено к пружине жесткостью c = 3,45 н/см. В начальный момент его отодвинули вправо на 3см и отпустили без начальной скорости. Найти число и величину размахов, которые совершит тело, и продолжительность t1 каждого из них .

Рис. 2.30. Колебания тела на шероховатой поверхности

–  –  –

Таким образом, за один полупериод размах уменьшится на величину 2а = 0,8 см. График движения показан на рис. 2.31 .

Рис. 2.31. График движения тела на шероховатой поверхности Первый размах составит 3+3-0,8=5,2 см; второй 2,2+2,2-0,8=3,6 см;

третий 1,4+1,4-0,8=2см; четвертый-0,6+0,6-0,8=0,4 см .

2.3.5. Вынужденные колебания системы с 1 степенью свободы .

Для поддержания колебательного процесса к системе прикладываются возбуждающие силы .

При отсутствии сил сопротивления уравнение Лагранжа для рассматриваемой системы имеет вид

–  –  –

В случае, если p=k, то правая часть уравнения обращается в неопределенность 0/0 ( A1 ) .

В этом случае частное решение вынужденных колебаний имеет вид

–  –  –

Данная величина показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического отклонения системы от положения равновесия. Она зависит только от соотношения Р/К.. График зависимости от соотношения Р/К показан на рис.2.33 .

Рис.2.33. Амплитудно-частотная характеристика При малых значениях р/k, то есть, если частота возбуждающей силы мала по сравнению с частотой свободных колебаний, коэффициент динамичности близок к единице. Когда приближается р/k, к единице, то динамический коэффициент и амплитуда колебаний возрастают и обращаются в бесконечность при p=k. Это явление называется резонансом .

При увеличении p и при р/k 1 коэффициент динамичности вновь обретает конечное значение и уменьшается при увеличении р/k.Если pk, то есть на колеблющуюся систему действует возбуждающая сила высокой частоты, то вызываемые е. колебания имеют малую амплитуду, и во многих случаях систему можно считать неподвижной .

При pk значение А1 положительно, то есть фазы колебания вынуждающей силы и вынуждаемых колебаний одинаковы и равны pt.Если pk, то А1 будет с минусом

–  –  –

При n = 0 данное уравнение совпадает с уравнением для вынужденных колебаний при отсутствии сил сопротивления .

Рассматриваемые колебания являются сложными и складываются из собственных - первое слагаемое и вынужденных - второе .

Первые при kn будут затухающими и при истечении некоторого момента времени, который называется ty – время установления, им можно пренебречь. Вид результирующих колебаний в период установления зависит от начальных условий и может иметь график, изображенный на рис. 2.34,в .

Определим коэффициент динамичности

–  –  –

При p=k (резонансе) величина имеет конечное значение, а max будет в случае, если р2=k2—2h2, то есть до наступления резонанса .

Амплитудно-частотная характеристика показана на рис. 2.35 .

–  –  –

При вынужденных колебаниях с сопротивлением всегда имеет место сдвиг фазы по сравнению с фазой возбуждающей силы .

Величина сдвига определяется формулой 2np tg k 2 p2 .

Максимальный сдвиг фаз наблюдается при р=k и равен /2 .

Зависимость сдвига фаз от величины р/k показана на рис. 2.36 .

Таким образом, можно отметить общие свойства вынужденных колебаний .

1. Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от начальных условий .

2. Вынужденные колебания при наличии сил сопротивления не затухают .

3. Частота вынужденных колебаний равна частоте возбуждающей силы .

4. Даже при малых значениях возбуждающих сил, если сопротивление мало, можно получить интенсивные колебания, если р=k .

5. Даже при больших значениях возбуждающих сил можно получить сколь угодно малые колебания, если частота их значительно меньше собственной частоты колебаний системы .

2.3.7. Технические приложения теории вынужденных колебаний .

1. Упругая подвеска машин .

Вращающиеся машины и механизмы, имеющие некоторую неуравновешенность, передают на фундамент периодические возбуждающие силы, что может вызвать шум, колебания и даже разрушения. Например, двигатель с неуравновешенным ротором (рис .

2.37), вращающийся с угловой скоростью передает нагрузку от силы инерции Fи=ma=m2L .

Рис. 2.37. Двигатель с Рис. 2.38.

Динамическая неуравновешенным ротором модель двигателя Раскладывая эту силу на вертикальную и горизонтальную составляющие, находим, что нагрузки на фундамент изменяются по гармоническому закону:

–  –  –

отсюда Rmax = Q0. .

Таким образом, чтобы уменьшить величину реакции, нужно, чтобы коэффициент был меньше единицы. Для этого устанавливают машину на очень мягких пружинах. Так, при отношении частот р/к=6, значение коэффициента динамичности равно 1/35 .

Очень чувствительные приборы, например, голографические установки, устанавливаются на воздушных подушках. Одним из способов повышения сейсмостойкости сооружений является их установка на “мягких фундаментах” .

2. Приборы для записи колебаний (вибрографы) .

Все приборы для записи колебаний имеют одинаковую схему. Схема вибрографа для записи вертикальных колебаний фундаментов изображена на рис. 2.39 .

Он состоит из рамы, жестко прикрепленной к фундаменту, груза массы m, подвешенного на пружине жесткостью с .

Рис.2.39. Схема вибрографа Рама участвует в колебательном движении фундамента и вызывает колебания груза относительно рамы. С грузом соединен самописец, который записывает колебания на вращающийся барабан .

Движение рамы с фундаментом является переносным, и для составления дифференциального уравнения груза надо приложить к нему переносную силу инерции и рассматривать ее как возбуждающую силу

–  –  –

Рис. 2.40. Динамическая модель автомобиля Поскольку рассматривается относительное движение, то к действующим силам присоединяется сила инерции

–  –  –

Если n = 0 и р=k то амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности .

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Дифференциальным уравнением свободных колебаний системы с одной степенью свободы при отсутствии сил сопротивления .

2. Закон свободных колебаний системы с одной степенью свободы при отсутствии сил сопротивления .

3. Период и частота колебаний .

4. Амплитуда и начальная фаза колебаний

5. Какие параметры колебаний не зависят от начальных условий?

6. Дифференциальным уравнением свободных колебаний системы с одной степенью свободы при наличии сил вязкого трения .

7. Как изменяются размахи колебаний при наличии сухого трения?

8. При каком условии колебания будут затухающими?

9. При каком условии колебаний происходить не будет?

10. Какие параметры характеризуют степень затухания?

11. Дифференциальным уравнением вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы при отсутствии сил сопротивления .

12. Дифференциальным уравнением вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы при наличии сил я вязкого сопротивления .

13. При каком условии наступает резонанс?

14. Как находится коэффициент динамичности?

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 2

1. Бишоп Р. Колебания. – М.: Наука, 1986 .

2. Прочность, устойчивость, колебания / Справочник под ред. И. А .

Биргера и Я. Г. Пановко. – Т.3. – М. : Машиностроение, 1968 .

3. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. – М. :

Машиностроение, 1970 .

4. Яблонский А. А. Курс теории колебаний. – М.: Высшая школа, 1975 .

5. Вибрации в технике : справочник в 6 томах. / Гл. редактор В. Н .

Челомей / М. : Машиностроение, 1980 .

6. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. – М.: Наука, 1969 .

7. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. – М. : гл .

ред. физ-мат. литературы, 1980 .

8. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. – М.:

Машиностроение, 1967 .

9. Пановко Я. Г., Губарева И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. – М.: Наука, 1987 .

10. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. – М.: Высшая школа, 1980 .

11. Бабаков И. М. Теория колебаний.- М.: Наука, 1968 .

12. Валентинов А. Вибрирую. Значит живу. "Российская газета", 24 ноября 1994 .

13. Митягин Н. П., Пирогов С. П. Метод обобщенных координат :

учебное пособие. – Тюмень: ТюмГНГУ, 2003 .

14. Яблонский А. А., Норейко С. С. Курс теории колебаний: учебное пособие, 4-е изд., - СПб.: Изд-во «Лань», 2003 .

15. Пастух С. Н., Кустаров Р. А. Динамика машин: учебное пособие. – М.: Издание Военно-инженерной академии, 2005 .

16. Гладов Г. И., Петренко А. М. Специальные транспортные средства:

Теория: Учебник. /Под ред. Г.И. Гладова. – М.: ИКЦ «Академкнига», 2006 .

17. Аркуша А. И. Техническая механика и сопромат. - М.: Высшая школа, 2008 .

18. Палеев В. А. Основы расчёта вибрационной техники в строительных и дорожных машинах: учебное пособие. – Омск: Изд. СибАДИ, 2009 .

19. Макарова Л. Л., Митяев А. Г., Ткач О. А., Борисевич В. Б. Процессы затухания колебаний в механических виброзащитных системах: учебное пособие. – Тула: Изд. ТулГУ, 2011 .

20. Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики .

16-е изд. – М.: КноРус, 2011 .

21. Жеглов Л. Ф. Виброакустика колёсных машин: учебное пособие. 2-е издание, испр. и дополн. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Создание любой новой машины требует ее расчетного обоснования и экспериментальной оценки механической надежности. Инженеры, выполняющие эти исследования, должны обладать глубокими знаниями в оценке прочности, жесткости, устойчивости .

Динамика и прочность машин – область науки и техники, изучающая методами механики и вычислительной математики поведение технических объектов различного назначения, закономерности механических явлений и связанных с ними процессов иной природы (пневмогидравлических, тепловых, электрических и т.д.), имеющих место в машинах, приборах, конструкциях и их элементах .

В данном пособии рассмотрена первая часть этой науки – математические методы изучения динамических процессов и теория равновесия и колебательного движения механических систем с одной степенью свободы .

Дальнейшим направлением изучения в данной области является теория деформаций и напряжений, критерии и теории пластичности, теория ползучести, методы решения задач пластичности и ползучести;

прочность и разрушение, термопрочность; механика композиционных материалов и конструкций (модели, прочность и деформативность);

колебания механических систем с распределенными параметрами, включая аэрогидромеханические колебания, параметрические и автоколебания, нелинейные колебания, удар, принципы линейной и нелинейной виброизоляции .

ОГЛАВЛЕНИЕ

–  –  –

Библиотечно-издательский комплекс федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» .

625000, Тюмень, ул. Володарского, 38 .

Типография библиотечно-издательского комплекса .

625039, Тюмень, ул. Киевская, 52.

Похожие работы:

«Министерство образования Российской Федерации Восточно-Сибирский государственный технологический университет Кафедра "Технология продуктов общественного питания" Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине специализации "Особенности лечебного, профилактического пи...»

«А.М. Меньшиков Дороги и подвижной состав лесозаготовительных предприятий Учебное пособие Архангельск, 2016 УДК ББК М51 Меньшиков, А.М.Дороги и подвижной состав лесозаготовительных предприятий: М51 учеб. пособие / А.М. Меньшико...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет Е.Б. Тарбагаева НОТАРИАТ Учебно-методическое пособие Красноярск СФУ УДК 347.961(07) ББК 67.76я73 Т 194 Тарбагаева, Е.Б.Т 194 Нотариат: учеб.-метод. пос...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО Л.И. Маркитанова ЗАЩИТА ОТ РАДИАЦИИ Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург УДК 614.8 + 358.238 Маркитанова Л.И. Защита от радиации: Учеб.-метод. пособие. СПб.: Университет ИТМО; ИХиБТ, 2015....»

«ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ МАШИНЫ И ОБОРУДОВАНИЕ РУКОВОДСТВО ПО ПОДГОТОВКЕ МАГИСТЕРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ Методические указания для магистрантов направления 15.04.02 САНКТ-ПЕТЕРБУРГ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего обра...»

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации" Ногинский филиал И.Г. Тарент, С.В. Кочетков УПРАВЛЕНИЕ В СОЦИАЛЬНОЙ СФЕРЕ Учебное пособие Ногинск ББК 60.55.373 Тарент И.Г., Кочетк...»

«Приложение 15 к письму Рособрнадзора от 25.12.15 № 01-311/10-01 Методическиерекомендации по проведению государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего образован...»

«О.Г. Приходько Ранняя помощь детям с двигательной патологией Методическое пособие Издательство КАРО Санкт-Петербург Приходько О.Г. Ранняя помощь детям с двигательной патологией первые годы жизни: Методическое пособие. СПб.: КАРО, 2006. 112 с. Методическое пособие содержит данные об особенностях развития...»

«ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ ПРАВИТЕЛЬСТВА МОСКВЫ УТВЕРЖДАЮ И.о. ректора МГУУ Правительства Москвы профессор А.М. Марголин "" 201 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ "Тренинг профессионально ориентированной риторики, дискусси...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования "Витебский государственный технологический университет" Г. А. Яшева И. Н. Калиновская МАРКЕТИНГ Методические указания по выполнению...»

«Ю. А. Зингеренко ОПТИЧЕСКИЕ ЦИФРОВЫЕ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И СЕТИ СИНХРОННОЙ ЦИФРОВОЙ ИЕРАРХИИ Учебное пособие Санкт-Петербург Ю.А. Зингеренко. Оптические цифровые телекоммуникационные системы и сети синхронн...»

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМА КООРДИНАТ 1942 года (СК-42) учебно-методическое пособие по курсу "Геоинформационные технологии" КАЗАНЬ-2002 -3ПЕЧАТАЕТСЯ ПО РЕШЕНИЮ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ КОМИССИИ ГЕОЛОГИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА КГУ Составитель: Ст. преподаватель Чернова И.Ю. В пособии дается подробная характеристика Сис...»

«ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ В.Е. БОЧКОВ, Г.А. КРАСНОВА, В.М. ФИЛИППОВ СОСТОЯНИЕ, ТЕНДЕНЦИИ, ПРОБЛЕМЫ И РОЛЬ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ В ТРАНСГРАНИ...»








 
2018 www.new.pdfm.ru - «Бесплатная электронная библиотека - собрание документов»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.