WWW.NEW.PDFM.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Собрание документов
 

«§ 1. Задача, приводящая к двойному интегралу. Найти V цилиндрического тела, основанием которого является часть координатной плоскости xOy, которую будем называть областью D. Сверху тело ...»

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Задача, приводящая к двойному интегралу .

Найти V цилиндрического тела, основанием которого является часть

координатной плоскости xOy, которую будем называть областью D. Сверху

тело ограниченно поверхностью, которая является графиком функции

z=f(x,y) .

D Pi

Разобьем область D на n элементарных площадок. Через границы этих

площадок проведем цилиндрическое тело. Внутри каждой площадки возьмем

точку Pi ( xi ; yi ), таким образом, данное цилиндрическое тело разбито на n элементарных цилиндрических тел. Площадь каждой элементарной площадки равна S i .

Mi Pi Заменим каждое элементарное цилиндрическое тело прямым цилиндром с высотой равной Pi M i f ( xi ; yi ) Объем такого цилиндра равен Vi f ( xi ; yi ) S i n Просуммировав все эти объемы, получим Vn f ( xi ; yi ) S i (1) i 1 (1) – представляет собой интегральную сумму для функции f(x,y) по области D. Она приближенно выражает искомый объем всего цилиндрического тела .

И тем точнее, чем больше n и чем меньше S i, переходя к пределу при n и S i 0 получим точное значение объема .

Определение 1 .

Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D называется предел интегральной суммы (1), когда n и S i 0 .

n f ( x, y)S (2) f ( x, y )ds lim i n Si i 1 D Таким образом, объем цилиндрического тела равен двойном интегралу, в этом и заключается геометрический смысл двойного интеграла V f ( x, y )ds (3) D Примечание .



Двойной интеграл представляет из себя число, зависящее только от размеров области D и от вида подынтегральной функции f(x,y) .

Теорема (Существования двойного интеграла) .

Если функция z=f(x,y) непрерывна, в замкнутой ограниченной области D, то двойной интеграл от этой функции по заданной области существует .

§ 2. Свойства двойного интеграла .

1). Двойной интеграл от суммы функций по области D равен сумме двойных интегралов от слагаемых функций по области D, то есть ( f ( x, y) ( x, y))ds f ( x, y)ds ( x, y)ds D D D Доказательство n n ( f ( x, y) ( x, y))ds lim ( f ( xi ; yi ) ( xi ; yi ))dS i = lim f ( xi ; yi )S i n i 1 n i 1 D

–  –  –

4). Если во всех точках области D функции f ( x, y) и ( x, y) удовлетворяют условию f ( x, y) ( x, y), то двойные интегралы от этих функций удовлетворяют следующему неравенству:

f ( x, y)ds ( x, y)ds D1 D2 Доказательство Непосредственно вытекает из геометрического смысла двойного интеграла .

–  –  –

где m, M – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции f(x,y) в области D;

S – площадь области D .

Доказательство Сравнивая объемы двух цилиндров и цилиндрического тела, получаем двойное неравенство (5). Ч.т.д .

–  –  –

Примечание Элементарные площадки при разбиении области D могут быть получены с помощью двух систем координатных линий, проведенных параллельно осям координат .

–  –  –

dx Очевидно, что в этом случае элементарная площадка представляет собой прямоугольник, поэтому элемент площадки ds может быть выражен следующим образом:

ds dx dy

В дальнейшем двойной интеграл принимает вид:

f ( x, y)dxdy D

–  –  –

Во внутреннем интеграле одна из переменных при интегрировании считается постоянной (в данном случае x = const) Следствие 2 В общем случае внутренний интеграл имеет переменные пределы, но в простейшем случае, когда область D представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, внутренний интеграл будет иметь постоянные пределы .





–  –  –

a b Следствие 3. Замена порядка интегрирования В рассмотренном выше случае область D проецировалась на ось x в виде отрезка [a,b].

В этом случае двойной интеграл принимал значение:

–  –  –

y изменяется от нижней кривой до верхней .

Однако область D может быть спроецирована и на ось y на отрезке [c,d]. В этом случае поменяется порядок интегрирования .

–  –  –

Необходимо найти массу неоднородного тела, занимающего в пространстве область V .

Неоднородное тело – это тело, плотность которого является функцией координат точек этого тела, т.е. f ( x, y, z). От точки к точке плотность тела все время меняется .

Разобьем тело на n элементарных областей с объемами 1 ; 2 ;...; n. Их размеры достаточно малы и поэтому плотность в пределах каждого элементарного объема не успевает сильно уменьшиться, поэтому в каждом элементарном объеме возьмем точку Pi ( xi ; yi ; zi ) и будем считать, что внутри каждого объема плотность постоянна и равна значению плотности в точке Pi, то есть равна значению i f ( xi ; yi ; zi ). Тогда приближенная масса каждого элементарного объема равна M i f ( xi ; yi ; zi ) i.

Просуммировав все эти массы получим:

n M n f ( xi ; yi ; z i ) i (1) i 1 (1) представляет собой интегральную сумму, которая приближенно выражает массу всего тела и тем точнее, чем больше n и чем меньше каждое из i .

–  –  –

Таким образом, масса неоднородного тела вычисляется с помощью тройного интеграла .

Теорема. (Существования тройного интеграла) Если функция f(x,y,z) непрерывна в замкнутой области V, то тройной интеграл от этой функции по данной области существует .

–  –  –

Доказательство:

Смотреть аналогичные свойства двойного интеграла .

3). Если область V разбить на две области V1 и V2 плоскостью, параллельной какой-либо из координатных плоскостей, то тройной интеграл можно представить в виде суммы тройных интегралов по области V1 и V2 соответственно .

–  –  –

Доказательство Учитывая, что тройной интеграл показывает массу неоднородного тела, то данное неравенство становится очевидным .

5). Теорема о среднем .

Тройной интеграл от непрерывной функции по области V равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке Р(,, ) из данной области на объем этой области, то есть f ( x, y, z)dv f (,, ) V v Доказательство Проводится на основании предыдущего неравенства (свойство 4) аналогично двойному интегралу .

–  –  –

Если тело разбивать на элементарные объемы с помощью плоскостей, параллельных координатным плоскостям, то каждый элементарный объем будет представлять собой прямоугольный параллелепипед, следовательно, элемент объема dv в тройном интеграле можно записать:

f ( x, y, z)dxdydz v

–  –  –

Примечание В общем случае пределы во внутренних интегралах являются переменными, однако в простейшем случае, когда тело представляет собой прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям, все пределы в тройном интеграле будут константами .

b d h

Похожие работы:

«НЕИЗДАННЫЕ ПИСЬМА А. И. ГЕРЦЕНА к Н. И. и Т. А. АСТРАНОВЫМ К печати приготовил Л. Л. ДОМГЕР ИЗДАНИЕ "НОВОГО ЖУРНАЛА" НЬЮ-ЙОРК 1957 Copyright 1956, by New R eview, I nc . UNPUBLISHED LETTERS of A. I. HERZEN to N. I. a n d T. A. ASTRAKOV Edited by L. Domherr Prepared for publication and published with the assistance of th...»

«боеприпасы \ \ малокалиберный патрон Василий Беженар мелкашка" Эта статья начинает цикл материалов, посвящённых патронам для охотничьего нарезного оружия, и призвана стать своеобразным "ликбезом" для потенциальных и начинающих пользователей нарезного оружия. Некоторые боепри...»

«АЛГОРИТМ ДЕЙСТВИЙ ПРИ ЧС ПРИРОДНОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ. ПАВОДОК, НАВОДНЕНИЕ КАК ДЕЙСТВОВАТЬ ВО ВРЕМЯ ПАВОДКА, НАВОДНЕНИЯ Действия в случае угрозы возникновение наводнения, паводка: • Внимательно слушайте информацию о чрезвычайной ситуации и инструкции о порядке действий, не пользуйтесь без необходимости телефоном, чтобы он б...»

«Художник Анна Силивончик Москва. Издательский дом "Фома". 2014 Дарья Герасимова Зимний вечер Пусть кружится на аллее Ветер спит на синей ёлке, Снежная тесьма, Реки спят, дома`. Пусть несётся всё быстрее Вдаль летит на белом волке Бабушка Зима, Бабушка Зима, В лунный бубен ударяет Сыпет снег из рукавицы Где-то вдалеке. Лёгкою волной. И сне...»

«Таджикистан 15 лет партнерства с Азиатским банком развития Отчет об эффективности помощи для развития © Азиатский банк развития 2013г. Все права защищены . Опубликовано в 2013г. Отпечатано на Филиппинах. Инвентарный номер издания No. A...»

«4 ПРЕЖДЕ ЧЕМ ОТПРАВИТЬСЯ В ПУТЬ ВперЁд, в дикую природу! Конечно, в лесу растёт много высоких деревьев. Ведь они и есть лес, правда? Здесь есть лиственные деревья, которые осенью теряют свои листья, и хвойные деревья, которые остаются зелёными даже зимой. А какие ещё отличия есть между ними? И п...»

«Международный союз электросвязи (МСЭ) Новые технологии и международное регулирование использования радиочастотного спектра и спутниковых орбит ВАСИЛЬЕВ Александр Васильевич Советник Бюро радиосвязи (БР) МСЭ Семинар МСЭ "Новые технологии и их воздействие на регулирование" 14-16 декабря 2010 г., Ереван, Республика Армения 1 14Че...»

«ГИДРОКСИДЫ УРАНИЛА В УРАНОВЫХ РУДАХ АНДРЕЙ ЧЕРНИКОВ Минералогический музей им. А.Е.Ферсмана РАН, Москва, cher@fmm.ru, mineral@fmm.ru Резюме. Простые гидроксиды уранила скупит, метаскупит и параскупит широко распространены в окисленных руд...»






 
2018 www.new.pdfm.ru - «Бесплатная электронная библиотека - собрание документов»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.